Lista 1\02 - Exercício 2

Observação: Eu tentei fazer mas não tenho 100% de certeza se está correto, além disso não achei minha escrita muito elegante, caso tenham alguma sugestão para melhorar, agradeço.

Considere $\epsilon >0$ e note que $f(0)=0$, pois $0 \in \mathbb{Q}$.
Seja $x \in \mathbb{R}$ tal que $|x-0|< \delta$, ou seja, $|x|< \delta$. Tome $\delta=\epsilon$, então se $x \not\in \mathbb{Q}$, temos que: $$|f(x)-f(0)|=|x-0|=|x|<\delta=\epsilon.
$$
Se $x \in \mathbb{Q}$, então:
$$|f(x)-f(0)|=|0-0|=0<\epsilon.$$
Portanto, $f$ é contínua em 0. Agora vamos mostrar que $f$ é descontínua nos demais pontos de seu domínio e para isso considere $a \in \mathbb{Q}$, $a \neq 0$, isto é, $f(a)=0$ e suponhamos por absurdo que $f$ é contínua em $a$. Podemos considerar uma sequência $(X_n)$ de irracionais convergindo para $a$, a qual de fato existe pelo fato do conjunto dos números irracionais ser denso nos reais. Da continuidade de $f$ em $a$, temos que $f(X_n)$ converge para $f(a)=0$, mas $f(X_n)=X_n$ para todo $n \in \mathbb{N}$, visto que seus termos são irracionais, sendo assim, temos que $X_n$ converge para 0. Absurdo, pois $X_n$ converge para $a \neq 0$. De modo análogo, utilizando a densidade de $\mathbb{Q}$ em $\mathbb{R}$, é possível provar que $f$ é descontínua em todos os irracionais. Portanto, $f$ é contínua em $0$ e descontínua nos demais pontos de $\mathbb{R}$.