Lista 1/04 - Exercicio 6
Nas mesmas condições do exercício 5, mostre que f é contínua em todo ponto se, e somente se,
\begin{equation*}
f^{-1}(\tau_{Y}) \subset \tau_{X}
\end{equation*}
Dica: Sua resposta será mais elegante se utilizar, não apenas as hipóteses, mas também o resultado do exercício 5.
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Usaremos a caracterização de continuidade dada no exercício 5.
Suponha $f$ contínua. Tome $f^{-1}(V)\in f^{-1}(\tau_{Y})$ com $V\in \tau_{Y}$, mostraremos que $f^{-1}(V)$ é uma união de abertos, portanto aberto. Tome $x\in f^{-1}(V)$ e seja $B$ um conjunto de uma base $\mathscr{B}$ de $f(x)$ com $B\subseteq V$, pelo exercício 5 temos $f^{-1}(B)\in \mathscr{V}(x)$, daí existe um aberto $A$ contendo $x$ tal que $A\subseteq f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(V)$, ou seja, para todo $x\in V$ existe um aberto $A_x$ contido em $V$ e que tem $x$ como elemento, daí concluimos que $V$ é a união desses abertos.
Reciprocamente, suponha $f^{-1}(\tau_{Y})\subseteq \tau_{X}$. Tome $x\in X$ e $\mathscr{B}$ uma base de $f(x)$, dado $B\in\mathscr{B}$, mostraremos que $f^{-1}(B)$ é vizinhança de $x$, o que é equivalente a continuidade de $f$ (pelo exercício 5).
Como $B$ é vizinhança de $f(x)$ tome $A\subseteq B$ aberto com $f(x)\in A$, daí $f^{-1}(A)$ é aberto, mas $x\in f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(B)$, logo $f^{-1}(B)\in \mathscr{V}(x)$, como queríamos.- AAndré Caldas @andrecaldas
Melhor chamar o aberto de $A$. :-)
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Na primeira parte... pra que serve essa base $\mathscr{B}$? E na segunda parte?
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Eu usei para poder aplicar o exercício 5, já que ele dá a caracterização em termos de bases.
Se $\mathscr{B}$ é uma base de $\mathscr{V}(f(x))$, então f é contínua em $x$ se, e somente se, $$f^{-1}({\mathscr{B}})\subseteq \mathscr{V}(x).$$- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim, mas não vi vantagem alguma. Poderia ter pego $\mathscr{B} = \mathscr{V}(f(x))$.
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
É verdade, da continuidade $f^{-1}(V)$ já é uma vizinhança de $x$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Mas você sabe que $\tau(f(a))$ é base de vizinhanças de $f(a)$. Aí sim, tem vantagem usar uma base... porque você escolheu uma base que torna o problema mais simples.
A segunda parte é imediata se você souber que para mostrar continuidade num ponto, basta mostrar para uma base de vizinhanças do ponto.