Lista 1/03 = Exercício 1.3
Para os casos a seguir, verifique que os sistemas de vizinhanças descritos definem uma topologia. Ou seja, verifique que satisfazem os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x\in\overline{B}$ em cada uma dessas topologias. Descreva também quando é que uma sequência $x_n$ converge para um ponto a em cada uma dessas topologias.
Seja $X=C(\Omega)$ o conjuntos das funções contínuas de $\Omega$ em $\mathbb{R}$. Dado um conjunto $\Gamma\subset\Omega$, vamos utilizar a seguinte notação:
\begin{align*}
V(f,\Gamma)=\{g\in C(\Omega):g|_\Gamma=f|_\Gamma\}
\end{align*}
Com essa notação,
\begin{align*}
\mathscr{B}_f=\{V(f,\Gamma):\Gamma\subset\Omega,\#\Gamma<\infty\}
\end{align*}
é uma base para $\mathscr{V}(f)$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Esse exemplo parece ter um problema. Com efeito, tome $\Omega = \mathbb{R}$ e $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)= \sin(x)$. Claramente, $f\in C(\Omega)$. Além disso, considerando $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $g(x)=2$, temos que $f(x)\neq g(x), \forall x \in \Omega$. Em particular, não existe $\Gamma \subset \Omega$ (finito) tal que $f_{\bigg|_\Gamma}=g_{\bigg|_{\Gamma}}$. (Observe que se fôssemos tentar ser espertinhos e considerar $\Gamma = \emptyset$, ele seria um subconjunto finito de $\Omega$ onde as funções seriam "iguais" nele, mas não faz muito sentido restringir uma função ao conjunto vazio, afinal o vazio não pode ser domínio de função alguma). Sendo assim, $g \in C(\Omega)$, mas $g \notin V(f,\Gamma), \forall \Gamma \subset \Omega$ finito. Logo $C(\Omega) \notin \mathcal{V}(f)$, o que contradiz o axioma 3.
O que eu acho que poderia resolver, mas não cheguei a verificar é na realidade considerar o sistema de vizinhanças como o gerado por esse conjunto $\mathcal{V}(f)$, ou seja, pensar nesse conjunto como sendo a base de vizinhanças.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Havia um erro de digitação que não havia me atentado. Onde lia-se $f(x) = g(x), \forall x \in \Omega$ na realidade é $f(x)\neq g(x), \forall x \in \Omega$. Já corrigi.
- Em resposta arodolfo_edp⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
O vazio pode ser domínio de uma função. E é por isso que $0! = 1$. :-)
$$V(f,\emptyset) = X.$$
Mas você tem razão. Esse que eu coloquei não é um sistema de vizinhanças. É só uma base.