ERRO NO EXERCÍCIO 2 DA LISTA 1/02 ?

Exercício 2 - Lista 1/02:

Mostre que a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = 0$ se $x \in \mathbb{Q}$ e $f(x) = x,$ se $x \not\in \mathbb{Q}$, é contínua na topologia usual de $\mathbb{R}$.

Acredito que tal função não é contínua em nenhum número irracional. Por exemplo, sendo $x \not\in \mathbb{Q}$,positivo e escolhendo $\epsilon_0 = x/2$, temos
$$f^{-1}((f(x) - \epsilon_0, f(x) + \epsilon_0)) = \{ y \in \mathbb{R} : f(y) \in (x/2, 3x/2)\}.$$
Observe que nenhum número racional pode estar em $f^{-1}((f(x) - \epsilon_0, f(x) + \epsilon_0))$. Portanto, não pode haver intervalos abertos contidos em tal conjunto, afinal, todo intervalo aberto está repleto de números racionais. Em verdade temos:
$$f^{-1}((f(x) - \epsilon_0, f(x) + \epsilon_0)) = (x/2, 3x/2) \cap (\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}),$$
que não é aberto em $\mathbb{R}$.