DEFINIÇÃO DE FILTRO

Não é o mesmo. Um filtro $\mathscr{F}$, é uma família de subconjuntos (de $X$) tal que:

1. $\mathscr{F} \neq \emptyset$
2. $\emptyset \not \in \mathscr{F}$
3. $A \in \mathscr{F},\, A \subset B \Rightarrow B \in \mathscr{F}$
4. $\mathscr{F}$ é fechado por interseção finita.

Isso é um filtro. Para ser vizinhança de $x$, o conjunto tem que conter o ponto $x$. Os filtros não precisam todos conter um mesmo ponto. Ou seja, um filtro pode ser tal que
$$\bigcap \mathscr{F} = \emptyset.$$

Vizinhanças de $x$ são filtros que além de todos os conjuntos no filtro conterem o ponto $x$, ainda precisam satisfazer aquele quinto axioma:
$$D \in \mathcal{V}(x) \Rightarrow \mathring{D} \in \mathcal{V}(x).$$

Os filtros também bases. As bases não são (necessariamente) filtros. Porque não precisam satisfazer o item $3$, acima.

Uma base de vizinhanças de $x$ é uma base para o filtro $\mathcal{V}(x)$.