Lista 1/03 - Exercício 1.2
Para os casos a seguir, verifique que os sitemas de vizinhanças descritos definem uma
topologia. Ou seja, verifique que satisfazem os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula. Tente descrever em português o significado de $x \in \overline{B}$ em cada uma dessas topologias. Descreva também quando é que uma sequência $x_n$ converge para um ponto $a$ em cada uma dessas topologias.
2 ) $X$ é um conjunto qualquer e
$$\mathscr{V}(x)= \lbrace V \subset X : x \in V, V^{c}\text{ é enumerável}\rbrace.$$
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- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Segue a minha tentativa.
(i) $V \in \mathcal{V}(x) \implies x \in V$:
Basta ver que, se $V \in \mathcal{V}(x)$, por definição de $\mathcal{V}(x)$, temos $x \in V$.(ii) $V \in \mathcal{V}(x), V \subseteq W \implies W \in \mathcal{V}(x)$:
Note que
$$V \subseteq W \implies W^c \subseteq V^c,$$
então $W^c$ é enumerável. Além disso, $ x \in V \subseteq W$, logo, $W \in \mathcal{V}(x)$.(iii) $\mathcal{V}(x) \neq \emptyset$:
Veja que $X \in \mathcal{V}(x)$, pois $x \in X$ e $X^c = \emptyset$ é enumerável.(iv) $V,W \in \mathcal{V}(x) \implies V \cap W \in \mathcal{V}(x)$:
Se x está em ambos $V$ e $W$, então $x \in V\cap W$. Além disso, $(V \cap W)^c = V^c \cup W^c$ é enumerável pois é união de enumeráveis. Logo, $V \cap W \in \mathcal{V}(x)$.(v) $W \in \mathcal{V}(x) \implies \text{int}(W) \in \mathcal{V}(x)$:
Neste item tive problemas. Temos $\text{int}(W) = \{ x \in X : W \in \mathcal{V}(x) \} \subseteq W$, já que $W \in \mathcal{V}(x) \implies x \in W$. Então $W^c \subseteq \text{int}(W)^c$ e aqui não sei como garantir que $\text{int}(W)^c$ é enumerável.Sobre as questões de convergência e fecho, não consegui nada que não fosse óbvio.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
@Matheus eu pensei assim para o item (V), mas não tenho muita certeza.
Suponha que $V\in\mathscr{V}(x)$ e mostremos que $int(V)\in\mathscr{V}(x)$. Para isso, provaremos que $int(V)=V$. De fato, suponha por contradição que $int(V)\neq V$ como $int(V)\subset V$, deve existir $a\in V$ tal que, $a\not\in int(V)$ então $V\not\in\mathscr{V}(a)$ o que só é possível se $V^c$ for não enumerável um absurdo.- AAndré Caldas @andrecaldas
Isso é um absurdo!!! :-)
- Em resposta aMatheus⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Se $W$ é vizinhança de algum ponto, então $W^c$ é enumerável. Então, ele é vizinhança de todos os seus pontos! Ou seja, nesse caso, $\mathrm{int}(W) = W$.
- Em resposta aMatheus⬆:
Caio Tomás de Paula @CaioTomasUma pequena observação: na prova do item (ii), a conclusão não deveria ser que $W^c$ é enumerável?
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Isso, concertei. Valeu pessoal, entendi!
- Em resposta aMatheus⬆:JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Sobre as sequências convergentes:
Seja $x_n\in X$ um sequência que converge para um ponto $x\in X$. Daí, considere o seguinte conjunto
\begin{align*}
A= \big\{ x_i\in \{ x_n\}:x_i\neq x \big\}.
\end{align*}
Note que, $A$ é enumerável e como $x\in A^c$ segue-se que $A^c\in\mathcal{V}(x)$. Ora, mas isso significa que existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que,
\begin{align*}
n\geq n_0\Rightarrow x_n\in A^c\iff x_n=x,\forall n\geq n_0
\end{align*}
Portanto, as sequências convergentes nessa topologia são constantes.- AAndré Caldas @andrecaldas
Eventualmente.