Lista 1/04 - Exercício 10 - [CONTRA-EXEMPLO] Um conjunto que é sequencialmente fechado mas que não é fechado

Acredito que tenham vários contra-exemplos, mas um que achei muito interessante foi do Primeiro Ordinal Não-Enumerável (tradução livre para First Uncountable Ordinal).

Números ordinais são ferramentas para quantificar a cardinalidade de um conjunto, mesmo que ele seja não-enumerável. No estudo dos números naturais somos apresentados ao princípio da contagem que permite definir uma maneira para contar os números, colocá-los em ordem. Os números ordinais são um meio de generalizar essa ideia.

Primeiro, precisamos definir o que significa dizer que um conjunto é bem ordenado

Definição: Seja $X$ um conjunto arbitrário não-vazio e "$<$" uma relação de ordem total em $X$. Dizemos que $(X,<)$ é bem ordenado se:
a) $\forall x,y \in X$, $x<y$, $x=y$ ou $y<x$ (Tricotomia)
b) Se $x<y$ e $y<z$, então $x<z$ (Transitividade)
c) Todo $A \subset X$ não-vazio possui elemento mínimo. (Princípio da Boa Ordenação)

Como exemplo, temos o conjunto dos números naturais, qualquer intervalo de $\mathbb{R}$ fechado à esquerda, entre outros. Note que dado $a \in X$, podemos definir
$$
X_a = \{ x \in X: x < a\}
$$
O conjunto $\mathcal{X} = \{ X_a : a \in X \}$ está ordenado pela relação de inclusão. Além disso, dados $a,b \in X$, $a<b \iff X_a \subsetneq X_b$. Isso permite definir uma bijeção (chamada de isomorfismo de ordem) entre $X$ e $\mathcal{X}$. Dessa forma podemos identificar cada elemento $a$ de um conjunto bem ordenado $X$ como o conjunto.
$$
a = X_a = \{ x \in X : x<a\} := [0, a)
$$
Assim, dizemos que $a$ é ordinal quando $X_a$ é estritamente bem-ordenado e todo elemento de $X_a$ é também um subconjunto de $X_a$.
A ideia é fazer uma espécie de extensão do conjunto dos números naturais. Contando a partir do $0$, vamos contando os números naturais e quando "acabarem" os números naturais, temos o primeiro número infinito, geralmente denotado por $\omega$ e então vamos contando $\omega +1$, $\omega+2$, assim por diante até a soma $\omega+\omega$ e assim por diante. Por exemplo, $\omega=\mathbb{N}$, o número ordinal $n = \{0, 1, 2, ..., n-1\}, \forall n \in \mathbb{N}$. Dadas essas considerações, todo número ordinal, quando visto como conjunto, pode ser munido de uma topologia e ser considerado então um espaço topológico. Tal topologia é chamada de Topologia da Ordem, a qual é gerada pelos conjuntos da forma:
$$
\{ x \in X: a< x\} \quad \mbox{e} \quad \{x \in X: x < b\}, \forall a,b \in X
$$
Um exemplo prático de tal topologia é a topologia usual da reta. Precisamos de mais algumas definições ainda:
Definição: Um numero ordinal $a\in X$ é dito enumerável se ele enquanto conjunto é um conjunto enumerável.
Para exemplificar, todo número ordinal $n \in \mathbb{N}$ é enumerável. Considere então $\Omega$ o conjunto de todos os números ordinais enumeráveis. Como todo conjunto de ordinais possui supremo (axioma da escolha), por exemplo, $\omega=\sup \mathbb{N}$, definimos $\omega_1 = \sup \Omega$ que claramente não é enumerável, pois:
$$\Omega = X_{\omega_1} = \{x \in X: x < \omega_1\}$$
que não contém $\omega_1$. Este número recebe o nome de primeiro ordinal não-enumerável. Pensando em $\omega_1 = [0,\omega_1)$ como um subconjunto do espaço topológico $X=[0,\omega_1]$ munido da topologia da ordem, temos que ele é sequencialmente fechado, pois todo limite de sequência de ordinais enumeráveis é um ordinal enumerável (pode-se provar por contradição usando a definição de abertos na topologia da ordem e a noção de convergência por abertos), mas ele não é fechado pois $X\setminus \omega_1=\{\omega_1\}$ que não é aberto (lembre como são os abertos na topologia da ordem).

PS: Qualquer eventual dúvida ou correção, só responder no tópico.