Todos os axiomas

Mostre que o processo descrito no vídeo
https://www.youtube.com/watch?v=ryM3P78Fh8s
garante o sistema $\mathcal{V}_x$ construído satisfaz os 5 axiomas para que seja considerado um sistema de vizinhanças de uma topologia.

1. $\emptyset \neq \mathcal{V}_x$
2. $\emptyset \not \in \mathcal{V}_x$
3. $V \in \mathcal{V}_x, \, V \subset W \Rightarrow W \in \mathcal{V}_x$
4. $V,W \in \mathcal{V}_x \Rightarrow V \cap W \in \mathcal{V}_x$
5. $V \in \mathcal{V}_x \Rightarrow \mathring{V} \in \mathcal{V}_x$