Lista 2/01 - Exercício 4

Você respondeu metade do exercício! :-P

Excelente, valeu!

Gostei do extra. Tava lá na lista?

Seja $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ contínua. Então para cada aberto $A\subset\mathbb{R}$ tem-se que $f^{-1}(A)\in\tau_X$. Ora, então dado $y\in\mathbb{R}$ e $x\in X$ vemos que,
$$
\begin{align*}
\{ x\in X:f(x)<y \} = f^{-1}(-\infty,y) \\
\{x\in X:f(x)>y \} = f^{-1}(y,+\infty)
\end{align*}
$$
são imagens inversas de subconjuntos abertos da reta portanto são abertos em $X$. Como esse fato vale para cada $y\in\mathbb{R}$ segue-se que $f$ é semicontínua inferiormente e superiormente. Reciprocamente, suponha que $f$ seja semicontínua inferiormente e superiormente e mostremos que $f$ é contínua. De fato, sejam $a\in X$ e $V\in\mathcal{V}(f(a))$ dados arbitrariamente então existe $\varepsilon>0$ tal que, $B_\varepsilon (f(a)\subset V$. Daí, considere
\begin{align*}
y_1=f(a)+\varepsilon \ \text{e}\ y_2=f(a)-\varepsilon
\end{align*}
Pela hipótese existem abertos $A_1,A_2\in\tau_X$ tais que,
\begin{align*}
A_1=f^{-1}(y_2,+\infty)\\ A_2=f^{-1}(-\infty,y_1)
\end{align*}
Logo,
\begin{align*}
A_1\cap A_2&=f^{-1}(y_2,+\infty)\cap f^{-1}(-\infty,y_1)\\
&=f^{-1}[(y_2,+\infty)\cap (-\infty,y_1)]\\
&=f^{-1}[ B_\varepsilon (f(a))]\in\tau_X
\end{align*}
Então $f^{-1}(V)\supset f^{-1}(B_\varepsilon (f(a))=A_1\cap A_2$ e, portanto, $f^{-1}(V)\in\mathcal{V}(a)$. Como $a$ foi tomado arbitrário segue-se que $f$ é contínua.
Para o exemplo, considere $A=(2,3)$ e defina
\begin{align*}
I_A:\mathbb{R}&\rightarrow \mathbb{R}\\
x&\mapsto
\begin{cases}
1, \ \text{se} \ x\in A\\
0, \ \text{se} \ x\not\in A
\end{cases}
\end{align*}
Então,
\begin{align*}
y\geq 1\Rightarrow I_{A}^{-1}(y,+\infty)=\varnothing\\
0<y<1\Rightarrow I_{A}^{-1}(y,+\infty) = A \\
y\leq<0\Rightarrow I_{A}^{-1}(y,+\infty) =\mathbb{R}
\end{align*}
Portanto, em qualquer caso $I_{A}^{-1}(y,+\infty)$ é um aberto em $\mathbb{R}$ donde $I_A$ é semicontínua inferiormente mas não é contínua pois, $2,3$ são pontos de descontinuidade para $I_A$ (vide Lista 1/02 - Exercício 11).