Lista 2/01 - Exercício 4

Você respondeu metade do exercício! :-P

Excelente, valeu!

Gostei do extra. Tava lá na lista?

Seja $f:X\to \mathbb{R}$ contínua. Então para cada aberto $A\subset \mathbb{R}$ tem-se que $f^{-1}(A)\in {\tau }_X$. Ora, então dado $y\in \mathbb{R}$ e $x\in X$ vemos que,
$$\begin{array}{r}\{x\in X:f(x)<y\}=f^{-1}(-\mathrm{\infty },y)\\ \{x\in X:f(x)>y\}=f^{-1}(y,+\mathrm{\infty })\end{array}$$
são imagens inversas de subconjuntos abertos da reta portanto são abertos em $X$. Como esse fato vale para cada $y\in \mathbb{R}$ segue-se que $f$ é semicontínua inferiormente e superiormente. Reciprocamente, suponha que $f$ seja semicontínua inferiormente e superiormente e mostremos que $f$ é contínua. De fato, sejam $a\in X$ e $V\in \mathcal{V}(f(a))$ dados arbitrariamente então existe $\epsilon >0$ tal que, $B_{\epsilon }(f(a)\subset V$. Daí, considere
$$\begin{array}{r}{y}_1=f(a)+\epsilon \text{e}{y}_2=f(a)-\epsilon \end{array}$$
Pela hipótese existem abertos $A_1,A_2\in {\tau }_X$ tais que,
$$\begin{array}{r}{A}_1=f^{-1}(y_2,+\mathrm{\infty })\\ A_2=f^{-1}(-\mathrm{\infty },y_1)\end{array}$$
Logo,
$$\begin{array}{rl}{A}_1\cap A_2& =f^{-1}(y_2,+\mathrm{\infty })\cap f^{-1}(-\mathrm{\infty },y_1)\\ & =f^{-1}[(y_2,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },y_1)]\\ & =f^{-1}[B_{\epsilon }(f(a))]\in {\tau }_X\end{array}$$
Então $f^{-1}(V)\supset f^{-1}(B_{\epsilon }(f(a))=A_1\cap A_2$ e, portanto, $f^{-1}(V)\in \mathcal{V}(a)$. Como $a$ foi tomado arbitrário segue-se que $f$ é contínua.
Para o exemplo, considere $A=(2,3)$ e defina
$$\begin{array}{rl}{I}_A:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \{\begin{array}{l}1,\text{se}x\in A\\ 0,\text{se}x\notin A\end{array}\end{array}$$
Então,
$$\begin{array}{r}y\ge 1\Rightarrow I_A^{-1}(y,+\mathrm{\infty })=\varnothing \\ 0<y<1\Rightarrow I_A^{-1}(y,+\mathrm{\infty })=A\\ y\le <0\Rightarrow I_A^{-1}(y,+\mathrm{\infty })=\mathbb{R}\end{array}$$
Portanto, em qualquer caso $I_A^{-1}(y,+\mathrm{\infty })$ é um aberto em $\mathbb{R}$ donde $I_A$ é semicontínua inferiormente mas não é contínua pois, $2,3$ são pontos de descontinuidade para $I_A$ (vide Lista 1/02 - Exercício 11).