Seja $X$ um espaço topológico qualquer e, $Y$ um espaço topológico discreto. Mostre que se $$f: X \rightarrow Y$$ é contínua, então os subconjuntos de $X$ da forma $f^{-1}(y)$ são abertos e fechados (clopen) ao mesmo tempo!
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Para quaisquer espaços topológicos $(X,\tau_X)$ e $(Y,\tau_Y)$, uma função $f:(X,\tau_X)\to (Y,\tau_Y)$ é contínua quando $f^{-1}(A) \in \tau_X$ para todo $A \in \tau_Y$.
Por hipótese, $Y$ é um espaço topológico discreto, assim todo subconjunto de $Y$ é aberto e fechado ao mesmo tempo. Em particular, o conjunto unitário $\{y\}$ é clopen, para todo $y \in Y$. Desde que $f$ é contínua, segue que $f^{-1}(y) \in \tau_X$.
Falta apenas mostrar que $f^{-1}(y)$ é um conjunto fechado.
Afirmação: Dados dois espaços topológicos $(X,\tau_X)$ e $(Y,\tau_Y)$, uma função $f:(X,\tau_X)\to (Y,\tau_Y)$ é contínua se, e somente, se $X\setminus f^{-1}(F) \in \tau_X$ sempre que $Y \setminus F \in \tau_Y$. (Em português: Pré-imagem de fechado é sempre fechado)
Prova: Suponha $f$ contínua e seja $F \subset Y$ fechado. Temos que $A=Y\setminus F \in \tau_Y$. Assim,
$$f^{-1}(A) = f^{-1}(Y\setminus F) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(F) = X \setminus f^{-1}(F) \in \tau_X$$
E portanto $f^{-1}(F)$ é fechado em $X$Reciprocamente, suponha que pré-imagem de qualquer fechado seja fechado e tome $A \in \tau_Y$. Temos que $F=Y \setminus A$ é fechado e portanto:
$$f^{-1}(F) = f^{-1}(Y\setminus A) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(A) = X \setminus f^{-1}(A) \ \mbox{é fechado em} \ X$$
Donde $f^{-1}(A)\in \tau_X$.Voltando ao exercício, como $\{y\}$ é fechado em $Y$ e $f$ é contínua, então $f^{-1}(y)$ é fechado em $X$.
Assim, $f^{-1}(y)$ é clopen em $X$ para todo $y \in Y$.
Em particular, se $f$ é não-constante, $X$ é desconexo.