Determine todas as possíveis topologias em $X = \{a,b,c\}$.
Este é um ótimo exercício para treinar a definição de topologia.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Sendo que $X$ tem 3 elementos, o conjunto das partes de $X$, denominado de $\mathcal{P}(X)$ tem 8 elementos. Por definição, uma topologia é antes de mais nada um subconjunto de $\mathcal{P}(X)$, portanto temos de imediato $2^8= 256 $ candidatos a topologias. Claro que nem todos os subconjuntos do conjunto das partes será uma topologia. Busquemos encontrá-las de fato:
- Lembre que em toda topologia há a presença do conjunto vazio e do conjunto todo, assim o primeiro exemplo é a topologia trivial $\tau=\{\emptyset, X\}$.
- Agora, podemos considerar a topologia obtida pelo conjunto unitário $\{a\}$. Temos que:
$$
\tau(a) = \{\emptyset, \{a\}, X\}
$$
De forma análoga, podemos proceder para os conjuntos unitários $\{b\}$ e $\{c\}$. Com isso, já temos 4 topologias. - Agora, consideremos a topologia obtida pelo conjunto $\{a,b\}$, a qual é:
$$
\tau(\{a,b\}) = \{\emptyset, \{a,b\}, X\}
$$
E da mesma forma procedemos com os conjuntos $\{a,c\}$ e $\{b,c\}$. Assim, já temos 7 topologias e já cobrimos todas as topologias com até 3 elementos. - Agora, consideremos as topologias geradas por dois conjuntos unitários. Por exemplo, a topologia gerada por ${a}$ e ${b}$:
$$
\tau(a,b) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X\}
$$
E da mesma forma procedemos com os pares $\{a\}, \{c\}$ e $\{b\}, \{c\}$. Temos então 10 topologias. - Continuando, consideremos a topologia gerada por um conjunto unitário e um conjunto com dois elementos onde um desses dois é o elemento do conjunto unitário. Por exemplo, a topologia gerada pelo par $\{a\}$ e $\{a,b\}$. Temos que:
$$
\tau(a,a,b) = \{ \emptyset, \{a\}, \{a,b\}, X\}
$$
Da mesma forma para $\{a\}, \{a,c\}$; $\{b\}, \{b,c\}$; $\{b\}, \{a,b\}$; $\{c\},\{b,c\}$ e $\{c\}, \{a,c\}$. Assim, já construímos 16 topologias. - Agora consideremos a topologia gerada por um conjunto unitário e um conjunto com dois elementos onde os dois não possuam intercessão. Por exemplo, a topologia gerada por $\{a\}$ e $\{b,c\}$:
$$
\tau(a,b,c) = \{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, X\}
$$
Da mesma forma para $\{b\}, \{a,c\}$ e $\{c\},\{a,b\}$. Já temos então 19 topologias. - Agora, consideremos a topologia gerada por dois conjuntos com dois elementos. Por exemplo, a gerada por $\{a,b\}$ e $\{b,c\}$:
$$
\tau(a,b,b,c) = \{\emptyset, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, X\}
$$
Da mesma forma para $\{a,b\}, \{a,c\}$ e $\{a,c\}, \{b,c\}$. Já são 22 topologias. - Agora, basta olhar para as topologias geradas por um unitário e dois com dois elementos de modo que os 3 elementos de $X$ estejam presentes em pelo menos um dos conjuntos. Por exemplo, a topologia gerada por $\{a\}, \{a,b\}, \{b,c\}$:
$$
\tau(a,a,b,b,c)=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{b,c\}, X\}
$$
De modo análogo para as combinações $\{a\}, \{a,c\}, \{b,c\}$; $\{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}$; $\{b\}, \{b,c\}, \{a,c\}$; $\{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}$ e $\{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}$. Assim, já são 28 topologias. - Por fim, temos a topologia discreta $\tau = \mathcal{P}(X)$, totalizando assim 29 topologias
Logo, existem 29 topologias possíveis. Mas é interessante observar que podemos reduzir esse número considerando homeomorfismos.
Pergunta: Quantas topologias existem sobre o conjunto $X=\{a,b,c\}$ a menos de homeomorfismo?
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Muito boa a solução Rodolfo!
- Em resposta arodolfo_edp⬆:TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Comecemos analisando o item 2). Primeiramente observe que os espaços topológicos $(X, \tau({a})), (X, \tau({b})), e (X, \tau({c}))$ são dois a dois homeomorfos. De fato, os homeomorfismos são dados por:
i) $f_1 : (X, \tau({a})) \rightarrow (X, \tau({b})),\quad f_1(a) = b, f_1(b) = a, f_1(c) = c$
ii) $f_2 : (X, \tau({a})) \rightarrow (X, \tau({c})),\quad f_2(a) = c, f_2(b) = b, f_2(c) = a$
iii) $f_3 : (X, \tau({b})) \rightarrow (X, \tau({c})),\quad f_3(a) = a, f_3(b) = c, f_3(c) = b$Assim, a menos de homeomorfismo, temos até agora duas topologias em $X$: A trivial e aquela gerada por conjuntos unitários.
Vejamos agora o item 3): Os espaços topológicos $(X, \tau(\{a,b\})), (X, \tau(\{a,c\})), (X, \tau(\{b,c\}))$ são dois a dois homeomorfos via os seguintes homeomorfismos:
i) $f_1: (X, \tau(\{a,b\})) \rightarrow (X, \tau(\{a,c\})), \quad f_1(a) = a, f_1(b) = c, f_1(c) = b$
ii) $f_2: (X, \tau(\{a,b\})) \rightarrow (X, \tau(\{b,c\})), \quad f_2(a) = c, f_2(b) = b, f_2(c) = a$
iii) $f_3: (X, \tau(\{a,c\})) \rightarrow (X, \tau(\{b,c\})), \quad f_3(a) = b, f_3(b) = a, f_3(c) = c$Logo, só há uma topologia em $X$ gerada por subconjuntos com dois elementos e no total já temos 3 topologias em $X$ (a menos de homeomorfismos.)
De maneira análoga a que fizemos, pode-se mostrar que as topologias em $X$, em cada um dos itens 4), 5), 6), 7), 8) e 9), geram espaços topológicos homeomorfos. Contudo, exibamos os homeomorfismos do item 8). Temos os seguintes espaços topológicos:
$(X, \tau(a,a,b,b,c)),\quad \tau(a,a,b,b,c) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{a,b\},\{b,c\} ,X\},$
$(X, \tau(a,a,c,b,c)),\quad \tau(a,a,c,b,c) = \{\emptyset, \{a\}, \{c\},\{a,c\},\{b,c\} ,X\},$
$(X,\tau(c,a,b,a,c) ),\quad \tau(c,a,b,a,c) = \{\emptyset, \{c\}, \{a\},\{a,b\},\{a,c\} ,X\},$
$(X, \tau(b,b,c,a,c)),\quad \tau(b,b,c,a,c) = \{\emptyset, \{b\}, \{c\},\{b,c\},\{a,c\} ,X\},$
$(X, \tau(b,a,b,a,c)),\quad \tau(b,a,b,a,c) = \{\emptyset, \{b\}, \{a\},\{a,b\},\{a,c\} ,X\},$
$(X, \tau(c,a,b,b,c)),\quad \tau(c,a,b,b,c) = \{\emptyset, \{c\}, \{b\},\{a,b\},\{b,c\} ,X\}.$
Vejamos os homeomorfismos:
i) $f_1: (X, \tau(a,a,b,b,c)) \rightarrow (X, \tau(a,a,c,b,c)),$ $f_{1}(a) = a, f_{1}(b) = c, f_{1}(c) = b$
ii) $f_2: (X, \tau(a,a,b,b,c)) \rightarrow (X,\tau(c,a,b,a,c) ),$ $f_{2}(a) = c, f_{2}(b) = a, f_{2}(c) = b$
iii) $f_3: (X, \tau(a,a,b,b,c)) \rightarrow (X, \tau(b,b,c,a,c)),$ $f_{3}(a) = b, f_{3}(b) = c, f_{3}(c) = a$
iv) $f_4: (X, \tau(a,a,b,b,c)) \rightarrow (X, \tau(b,a,b,a,c)),$ $f_{4}(a) = b, f_{4}(b) = a, f_{4}(c) = c$
v) $f_5: (X, \tau(a,a,b,b,c)) \rightarrow (X, \tau(c,a,b,b,c)),$ $f_{5}(a) = c, f_{5}(b) = b, f_{5}(c) = a$
vi) $f_6: (X, \tau(a,a,c,b,c)) \rightarrow (X,\tau(c,a,b,a,c) ),$ $f_{6}(a) = c, f_{6}(b) = b, f_{6}(c) = a$
vii) $f_7: (X, \tau(a,a,c,b,c)) \rightarrow (X, \tau(b,b,c,a,c)),$ $f_{7}(a) = b, f_{7}(b) = a, f_{7}(c) = c$
viii) $f_8: (X, \tau(a,a,c,b,c)) \rightarrow (X, \tau(b,a,b,a,c)),$ $f_{8}(a) = b, f_{8}(b) = c, f_{8}(c) = a$
ix) $f_9: (X, \tau(a,a,c,b,c)) \rightarrow (X, \tau(c,a,b,b,c)),$ $f_{9}(a) = c, f_{9}(b) = a, f_{9}(c) = b$
x) $f_{10}:(X,\tau(c,a,b,a,c) ) \rightarrow (X, \tau(b,b,c,a,c)),$ $f_{10}(a) = c, f_{10}(b) = a, f_{10}(c) = b$
xi) $f_{11}:(X,\tau(c,a,b,a,c) ) \rightarrow (X, \tau(b,a,b,a,c)),$ $f_{11}(a) = c, f_{11}(b) = a, f_{11}(c) = b$
xii) $f_{12}:(X,\tau(c,a,b,a,c) ) \rightarrow (X, \tau(c,a,b,b,c)),$ $f_{12}(a) = b, f_{12}(b) = b, f_{12}(c) = c$
xiii) $f_{13}:(X, \tau(b,b,c,a,c)) \rightarrow (X, \tau(b,a,b,a,c)),$ $f_{13}(a) = c, f_{13}(b) = b, f_{13}(c) = a$
xiv) $f_{14}:(X, \tau(b,b,c,a,c)) \rightarrow (X, \tau(c,a,b,b,c)),$ $f_{14}(a) = a, f_{14}(b) = c, f_{14}(c) = b$
xv) $f_{15}:(X, \tau(b,a,b,a,c)) \rightarrow (X, \tau(c,a,b,b,c)),$ $f_{15}(a) = b, f_{15}(b) = c, f_{15}(c) = a$Por fim, a menos de homeomorfismo, temos 9 topologias possíveis em $X$, uma para cada um dos itens de 1) a 9).
- TEm resposta athiagogmelo⬆:Thiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Será que $X$ munido de uma topologia de uns dos itens de 1) a 9) pode ser homeomorfo a ele mesmo uma topologia de algum outro item? Se isso não for possível, realmente teremos apenas 9 topologias.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
creio não ser possível, devido a estrutura do gerador que é diferente em cada item.