Mostre que uma função
$$f : X \rightarrow Y$$
entre espaços topológicos é contínua se, e somente se, para todo $D \subset X$,
$$f(\overline{D})\subset \overline{f(D)}$$
- GGeorge Kiametis @georgekiametis
$(\Longrightarrow)$
Sem perda de generalidade, suponha que $f$ é sobrejetiva, caso contrário, restringimos o contra-domínio de $f$ e trabalhamos com a restrição e considerando a topologia induzida por $Y$ na imagem de $f$.
Suponha $f$ contínua. Seja $x \in \overline{D}$. Seja $V \in \mathcal{V}(f(x))$ qualquer. Pela continuidade de $f$, $f^{-1}(V)$ é uma vizinhança de $x$, a qual intersecta $D$ pelo fato de que $x \in \overline{D}$. Assim, $V = f(f^{-1}(V))$ (lembre-se que $f$ é sobrejetiva) intersecta $f(D)$, então $f(x) \in \overline{f(D)}$ pela arbitrariedade de $V$.
$(\Longleftarrow)$
Suponha $f(\overline{D}) \subset \overline{f(D)}, \forall D \subset X$. Seja $F$ um fechado em $Y$. Se $x \in \overline{f^{-1}(F)}$, então
$$f(\overline{f^{-1}(F)}) \subset \overline{f(f^{-1}(F))} \subset \overline{F} = F.$$
Assim,
$$f(x) \in f(\overline{f^{-1}(F)}) \Longrightarrow f(x) \in F \Longrightarrow x \in f^{-1}(F),$$
portanto $f^{-1}(F)$ é fechado em $X$, o que implica que $f$ é contínua.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Muito bom!
Acho muito bacana assumir coisas "sem perda de generalidade". Mas não achei muito necessário, não. A diferença é que você vai ter $V \supset f(f^{-1}(V))$.
Eu teria usado um pouquinho mais de português, e tomado $d \in D \cap f^{-1}(V)$. Então,
$$f(d) \in f(D) \cap f(f^{-1}(V)) \subset f(D) \cap V,$$
mostra que $f(D) \cap V$ não é vazio, e portanto, $x \in \overline{f(D)}$.Acho que você tomou essa sequência em $X$, mas queria tomar em $D$. De qualquer forma, argumentos com sequência não costumam funcionar se o espaço topológico não for, por exemplo, um espaço métrico. Não é verdade, em geral, que $x \in \overline{D}$ seja sempre o limite de uma sequência $x_n \in D$.
- Em resposta aandrecaldas⬆:GGeorge Kiametis @georgekiametis
Refiz a volta. Acho que agora está certo.