Exercício 5.Para cada um dos casos abaixo, mostre que $ (X, \tau)$ é uma topologia
2. Topología Caótica.
\begin{equation*}
X=[9,15] \ \ \ \ \tau=\{\emptyset ,[9,15]\}
\end{equation*}
Caio Tomás de Paula @CaioTomasQueremos mostrar que $\tau$ (i) contém o conjunto vazio e todo o $X$, (ii) que é fechado por interseção finita e (iii) que é fechado por união arbitrária.
(i) Por construção, $\emptyset, X\in\tau$.
(ii) Sejam $A,B\in\tau$. Temos que $A\cap B = \emptyset$ ou $A\cap B = X$, pois $A,B\in\{\emptyset, X\}$. Logo, $\tau$ é fechado por interseção finita.
(iii) Seja $A_{\lambda}\in\tau, \lambda\in\Lambda$ uma família arbitrária. Temos que
$$
\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda} = \emptyset
$$ se $A_{\lambda} = \emptyset, \forall\lambda\in\Lambda$ ou
$$
\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda} = X
$$ se $\exists\lambda\in\Lambda : A_{\lambda} \neq \emptyset$. Logo $\tau$ é fechado por união arbitrária e, portanto, é uma topologia.