Dúvida sobre notação (notas de aula - Definição 5.5).

Dado um conjunto $X$ e uma família $\mathscr{A} = \{\tau_{\lambda} \ \vert \ \lambda \in \Lambda \}$ de topologias em $X$, existe uma única topologia em $X$ (que não necessariamente pertence a $\mathscr{A}$), que denotaremos por $\tau_{\delta}$, que satisfaz:

a) $\tau_{\delta} \subset \tau_{\lambda}$ seja qual for $\lambda \in \Lambda$ (por isso, faz sentido dizer que $\tau_{\delta}$ é uma "cota inferior" da família $\mathscr{A}$)

b) se $\tau$ é qualquer outra topologia em $X$ que satisfaz a), então $\tau \subset \tau_{\delta}$ (por isso, faz sentido dizer que $\tau_{\delta}$ é a maior "cota inferior" da família $\mathscr{A}$)

Denotarei $\tau_{\delta} = \inf \mathscr{A}$. Como existe, de onde vem? Por qual motivo é única? Fica como exercício (a existência já foi exibida nas notas de aula, o "candidato" é a interseção de todas as $\tau_{\lambda}$, resta provar a unicidade e as propriedades a) e b)). Provadas essas afirmações, não há ambiguidade ou problema nenhum ao referir a $\tau_{\delta}$ como a - pois é única - maior (devido a b)) topologia menor que todas as $\tau_{\lambda}$ (que corresponde a a)), e sendo $\tau_{\delta}$ a maior cota inferior, fica justificada a nomenclatura de ínfimo.

Se quisermos definir o supremo de uma tal $\mathscr{A}$, a situação já não é mais tão simples - à primeira vista, parece que poderíamos pegar a união de todas as $\tau_{\lambda}$. Mas não podemos, pois a união de topologias não é necessariamente uma topologia (exercício - encontrar exemplos explícitos). Porém nossa motivação é a mesma - queremos encontrar a menor topologia que é maior que todas as $\tau_{\lambda}$. Como visto nas notas de aula, consideramos então a família $\mathscr{F}$ de todas as topologias que são maiores que todas as $\tau_{\lambda}$, e definindo $\tau_{\omega} \doteq \sup \mathscr{A} \doteq \inf \mathscr{F}$, obtemos exatamente as propriedades desejadas, ou seja, $\tau_{\omega}$ satisfaz:

c) $\tau_{\omega} \supset \tau_{\lambda}$ seja qual for $\lambda \in \Lambda$ (por isso, faz sentido dizer que $\tau_{\omega}$ é uma "cota superior" da família $\mathscr{A}$)

d) se $\tau$ é qualquer outra topologia em $X$ que satisfaz a), então $\tau \supset \tau_{\omega}$ (por isso, faz sentido dizer que $\tau_{\omega}$ é a menor "cota superior" da família $\mathscr{A}$)

É bom realmente se convencer novamente de que $\tau_{\omega}$ é a menor topologia que contém todos os $\tau_{\lambda}$ (dissecando cada passo - é uma topologia porque? é a menor topologia que faz isso porque? ...). Tendo isso tudo claro em mente e considerando o caso $\mathscr{A} = \{\tau_X \in \mathcal{T}(X) \ \vert \ \mathcal{C} \subset \tau_X \}$, outra maneira de reescrever a definição 5.5 é simplesmente: $$\tau(\mathcal{C}) = \sup \mathscr{A} $$

Lendo em português: $\tau(\mathcal{C})$ é a menor topologia de $X$ maior que todas as topologias que contém $\mathcal{C}$. Parece complicado mas depois de se acostumar não é - note a "brutalidade" e simplicidade das contruções: ao definir o ínfimo, "esprememos" todas as topologias que podíamos até não sobrar nada pra espremer. Ao definir o supremo de uma coleção de topologias, pegamos todas as cotas superiores e definimos o supremo como o ínfimo dessas cotas superiores (situação análoga ao supremo de conjuntos de números reais mesmo - o mesmo acontece lá). E quando quisemos fazer uma topologia de uma coleção inicial arbitrária (em outras palavras, encontrar a menor topologia onde todos os elementos de $\mathcal{C}$ fossem abertos), no fundo simplesmente adicionamos a menor quantidade possível de abertos dentre todas as topologias de onde podíamos tirar abertos pra pôr para que o resultado fosse uma topologia.

Fazer a demonstração dos itens da proposição 5.8 esclarece melhor o que está acontecendo. A se pensar (dica $\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R})$: e se $X = \mathbb{R}$, $\mathcal{C} = \{(a, b) \ \vert \ a \in A, b \in B \}$ (podendo ser extremos abertos ou fechados também em uma ou duas pontas), com $A$ e $B$ podendo ser $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$? E se $\mathcal{C}$ for a coleção de todos os compactos da reta na topologia usual, ou se for a coleção de todos os fechados da reta na topologia usual?