Lista 2/01 Exercício 5.3 b)
Para cada um dos casos abaixo, mostre que $(X,\tau)$ é uma topologia.
\begin{align*}
X=\bigg\{ x\in\mathbb{R}^\mathbb{N} \ \big| \ \sum_{n=0}^{\infty}|x_n|<\infty \bigg\}
\end{align*}
Onde $\tau$ é formado pelo vazio, e também pelas uniões arbitrárias de bolas da norma do supremo $\|x\|_ \infty=\sup_{n=0}^{\infty}|x_n|.$
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Verificaremos que $\tau$ satisfaz as três condições da definição usual de topologia.
Temos
$$X=\bigcup_{x\in X}B_1(x)$$
Daí $X\in \tau$, além disso, por definição, $\varnothing\in\tau$.
A união arbitrária de conjuntos que são união de bolas ainda é uma união de bolas, portanto a união arbitrária de abertos de $\tau$ é um aberto de $\tau$.
Para a interseção finita, tome $A,B\in\tau$, mostraremos que $A\cap B\in\tau$.
Para tanto, tome $x\in A\cap B$, pela definição de $\tau$ existem bolas $B_1=B_s(a)\subseteq A$ e $B_r(b)\subseteq B$ tais que $x\in B_1$ e $x\in B_2$. Tome $\varepsilon$ pequeno o suficiente de forma que $B_\varepsilon(x)\subseteq B_1\cap B_2$, assim temos $B_\varepsilon(x) \subseteq A\cap B$.
Ou seja, para cada $x\in A\cap B$ existe $\varepsilon_x$ tal que $B_{\varepsilon_x}(x)\subseteq A\cap B$. Portanto, $A\cap B$ é a união de bolas e portanto aberto.- AAndré Caldas @andrecaldas
E se a definição de $X$ não excluísse os caras que a norma é infinito?
$$
X = \mathbb{R}^\mathbb{N}.
$$Dava uma topologia?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Penso que não pois nesse caso a norma poderia ser $\infty$ e consequentemente a métrica logo o supremo pode não ser atingido.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Mas o que ganhamos excluindo o $\infty$?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
No caso da métrica todo $\sup$ nos excluímos o $\infty$ porque não faz sentido calcular o supremo de um conjunto que não é limitado superiormente. Então é na verdade uma deficiência em saber lidar com ele. Na verdade não sei responder, parece que não atrapalha e nem agrega em nada.
- Em resposta aandrecaldas⬆:AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Só complementando a resposta do João, uma possibilidade para definir uma topologia nesse conjunto seria usar a métrica dada por:
$$d(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}\cdot\frac{|x_i-y_i|}{1+|x_i-y_i|},$$
para $x=(x_n)$ e $y=(y_n)$, que sempre converge já que podemos limitar essa série pela série geométrica
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^{i}}.$$- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. Mas essa topologia aí é diferente. Essa métrica dá a topologia produto.
Eu não vejo problemas em a norma dar $\infty$. O único problema é que deixa de ser uma norma. :-)
Mas as bolas continuam existindo! Poderíamos ter uma bola centrada em $(1, 2, 3, 4, \dotsc)$, na norma do supremo... não? Basta que a diferença dos vetores tenha norma $< \varepsilon$. ;-)
Mas talvez
$$
d(x,y) = \sup \frac{|x_j - y_j|}{1 + |x_j - y_j|}
$$
funcione...- AAndré Caldas @andrecaldas
Ou, talvez,
$$
d(x,y) = \min \{1, \|y - x\|\}.
$$
Mas o meu ponto é que você não precisa de uma métrica... não tem motivo nenhum pra "esconder" esse $\infty$. Eu acho...- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Entendi, acredito que a demonstração acima ainda funciona nesse caso, já que definimos as coisas em termos de bolas.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que o principal motivo pra você não querer que a norma dê infinito, é conseguir construir o vetor unitário
$$
\frac{a}{\|a\|}.
$$
Qualquer vetor é múltiplo de um vetor unitário. :-)Um espaço normado $E$ é tal que
$$
E = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n(\vec{0}).
$$
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Posso utilizar esse mesmo argumento considerando uma família arbitrária $\{ B_{\alpha} \}$ de bolas, de modo que se tenha $X- \cup B_{\alpha}$ e $X- \cap B_{i}$?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não entendi. Como é o argumento? E o que você gostaria de mostrar?
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Eu queria utilizar um argumento que vi no livro do Munkres, para provar que a interseção finita pertence à $\tau$. Mas percebi que o argumento que ele faz só serve para $X$ finito.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu fico orgulhoso quando vejo que vocês estão lendo... :-)
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Para tanto, tome $x\in A\cap B$, pela definição de $\tau$ existem bolas $B_1=B_s(a)\subseteq A$ e $B_r(b)\subseteq B$ tais que $x\in B_1$ e $x\in B_2$.
A existência dessas bolas não é consequência da "definição de $\tau$". Ela é consequência da definição de $\|\cdot\|$. Mais precisamente, é consequência da desigualdade triangular.
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Não entendi. Por que seria consequência da desigualdade triangular?
Nesse caso o que eu quis dizer é que como $A$ e $B$ são uniões de bolas então $x$ vai estar em alguma dessas bolas que "compõem" esses abertos.- AAndré Caldas @andrecaldas
Os abertos são união de bolas. Então, se você tem dois abertos, $A$ e $B$, precisa mostrar que $A \cap B$ é um aberto... ou seja, tem que mostrar que $A \cap B$ é união de bolas!!! :-)
Por exemplo, suponha que $d(a,b) = 1$. A interseção das duas bolas $B_2(a)$ e $B_2(b)$ é uma união de bolas???
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Sim, pois essas bolas são em particular conjuntos abertos, logo $B_2(a)\cap B_2(b)$ é um conjunto aberto se, e somente se, é união de bolas abertas.
Então a maneira correta de escrever seria assim?
Sejam $A,B\in\tau$ então existem conjuntos de índices $\Lambda$ e $\Lambda'$ tais que,
\begin{align*}
A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\varepsilon_\lambda}(x_\lambda),\ \ B=\bigcup_{{\lambda'}\in{\Lambda'}}B_{\varepsilon_{\lambda'}}(x_{\lambda'}); \ x_\lambda,x_{\lambda'}\in X
\end{align*}
Porém, não sei justificar que $A\cap B$ é um aberto sem apelar pro fato de que a norma gera uma métrica então necessariamente $A\cap B$ é união de bolas abertas (parece que estou supondo a tese).- AAndré Caldas @andrecaldas
O exercício pede basicamente pra você mostrar que as bolas formam uma base da topologia. Qual é a norma, não interessa muito... na verdade, o que interessa é que é um espaço métrico.
Num certo sentido, você poderia dizer:
É uma topologia porque é justamente a topologia induzida pela métrica.
Mas vamos assumir que o professor quer que demonstremos diretamente, sem usar essa coisa de topologia da métrica. Se não, fica fácil demais. O objetivo do exercício é ver se você sabe porque nos espaços métricos essa construção funciona. A pergunta é:
- Por que, nos espaços métricos, as bolas formam uma base da topologia?
A demonstração do que você quer é mais ou menos essa:
https://www.youtube.com/watch?v=xrRzdcY47GI&t=566s