Lista 2/02 - Exercício 1
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico que satisfaz determinado axioma de separação: $T_0,
T_1$, Hausdorff, regular, $T_3$, etc. Mostre que se tomarmos $\tau'$, um refinamento de $\tau$, $\tau'$ satisfaz esse mesmo axioma de separação.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasDizemos que $\tau'$ é um refinamento de $\tau$ se todo $A'\in\tau$ está contido em algum $A\in\tau$. Daí, se $(X,\tau)$ é um espaço topológico que satisfaz algum axioma de separação, então todos os pontos de $A$ satisfazem esse axioma, de modo que todo ponto de $A'$ também o faz pois $A'\subset A$.
Pensei assim, não sei se ficou simples demais xD
- AAndré Caldas @andrecaldas
É mais simples ainda. $\tau'$ é um refinamento de $\tau$ quando $$\tau \subset \tau'. \text{ :-)}$$
- Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Algumas propriedades continuam lá quando aumentamos a topologia. Outras, como compacidade, continuam lá quando diminuímos a topologia.
Tem umas, que são herdadas pelos subespaços. Outras não. Dizemos que ser Hausdorff, por exemplo, é uma propriedade hereditária.