Mostre que se um espaço topológico é $T_3$, então dados dois pontos distintos $a$ e $b$,
existem vizinhanças fechadas de $a$ e $b$ que são disjuntas.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Lembremos que um espaço topológico $(X,\tau)$ é $T_3$ quando é $T_2$ e regular.
Sejam $a\neq b \in X$. Sendo que $(X,\tau)$ é $T_2$, existem vizinhanças disjuntas $O_a$ e $O_b$ de $a$ e $b$ respectivamente. Como $(X,\tau)$ é regular, então o conjunto das vizinhanças fechadas de $a$ (e de $b$ também) forma uma base para as vizinhanças de $a$ (e de $b$). Assim, existem vizinhanças fechadas $F_a \subset O_a$ e $F_b \subset O_b$ que contém $a$ e $b$, respectivamente. Como $O_a \cap O_b = \emptyset$, então $F_a \cap F_b = \emptyset$ e segue o resultado.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Rapaz... quanta elegância!!! :-)
Imagine esse argumento sem essa coisa da base com vizinhanças fechadas...
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Essa caracterização foi especialmente útil, facilitou demais o exercício. Muito massa!
- JEm resposta ageorgekiametis⬆:Comment deleted
- AAndré Caldas @andrecaldas
Vamos denotar os irracionais, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, por $\mathbb{I}$.
$$
\overline{\mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} = \overline{\emptyset} = \emptyset \neq \mathbb{R} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \overline{\mathbb{Q}} \cap \overline{\mathbb{I}}.
$$- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Verdade professor confundi as propriedades de união de fecho com as de intersecção. Vou repensar o exercício.
Em resposta ageorgekiametis⬆:Rafael Meira Carvalho Lino @meiritosUma tentativa:
Seja $X$ um espaço $T_3$. Dados $x \in X$ qualquer e $U$ uma vizinhança de $x$, sabemos que existe um aberto $A \subset X$ tal que $x \in A \subset U$. Tomemos então o conjunto $(X - A)$ a fim de usar a regularidade do espaço $X$. Por hipótese, existem $V,W \subset X$ abertos tais que $x \in V$, $(X - A) \subset W$ e $V \cap W = \emptyset$. Segue que $x \in V \subset A \subset (X - W) \subset U$ sendo então $(X - W)$ uma vizinhança fechada de $x$. Tendo agora as vizinhanças fechadas pra cada ponto ($x$ foi dado arbitrariamente), se $a,b \in X$ é um par de pontos distintos em $X$, então as vizinhanças abertas disjuntas dadas por regularidade conterão respectivamente as vizinhanças fechadas, que serão por sua vez disjuntas.- AAndré Caldas @andrecaldas
[...] sabemos que existe um aberto $A \subset X$ tal que $x \in A \subset U$.
Seria bom você dizer o que é exatamente um espaço $T_3$, pra você. Ou seja, que propriedades você está usando.
E seria bom, também, você dizer o que é que está demonstrando. Ao final, quando você toma $a,b \in X$, não deu pra entender muito onde é que $a$ e $b$ se encaixam em toda a conversa que veio antes. :-)