Lista 2/02 - Exercício 4
O conjunto dos racionais com sua topologia usual é um espaço normal? Se for, apresente uma função contínua
$$
f: \mathbb{Q}\to [0,1]
$$ que separe os conjuntos $[1,2]$ e $[3,4]$.
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Eu pensei em definir uma função da seguinte maneira:
$f(x)= inf \{q \mid x \in [1,2] \cup [3,4] \}$.Mas não sei se está certo, pois estou com dificuldades para entender a construção dessa função.
Para definir a $f$ é preciso construir uma sequência antes? Você pensou em algo?- AAndré Caldas @andrecaldas
Se $p \in \mathbb{R}$, pode acontecer de a função
$$
\begin{align*}
f: \mathbb{Q} &\rightarrow \mathbb{R}
\\
x &\mapsto \begin{cases}0,& x \leq p \\ 1,& x > p\end{cases}
\end{align*}
$$
ser contínua?- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Acredito que não, pois os limites laterais são diferentes.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Qual é o ponto de descontinuidade?
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Acredito que o ponto $p$ seria o ponto de descontinuidade.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Mas e se $p$ for irracional?
- Em resposta aandrecaldas⬆:VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Acho que uma melhor definição para $f$ seria:
$$
f(x) =
\begin{cases}
0 & x \in (-\infty, 2] \\
x-2& x \in (2,3] \\
1 & x \in (3, \infty)
\end{cases}
$$Obs: Não consegui formatar direito.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Consertei. Tem que usar
\\\\no lugar de\\. - Em resposta aVitoriaC⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Muito bom! Qualquer função contínua com domínio em $\mathbb{R}$ é contínua com domínio em $\mathbb{Q}$. Se essa função já serve, não tem pra que usar outra! :-)
Então... um desafio pra você...
Em $\mathbb{Q}$, os conjuntos $(-\infty, \sqrt{2}] \cap \mathbb{Q}$ e $[\sqrt{2}, \infty) \cap \mathbb{Q}$ são fechados e disjuntos. Como é uma função $f: \mathbb{Q} \rightarrow [0,1]$ que separa esses dois conjuntos?
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Defina:
$$
f(x) =
\begin{cases}
0 , & x \in (-\infty, \sqrt{2}]\\
1, & x \in (\sqrt{2}, \infty)
\end{cases}
$$
Descontínua nos Reais e contínua nos Racionais.- AAndré Caldas @andrecaldas
Se $A \subset [0,1]$, como é a cara da imagem inversa?
$$f^{-1}(A) = ???$$- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
$f^{1}(A)=\{0 \}$?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Para determinar $f^{-1}(B)$, para qualquer conjunto $B$, perceba que só existem 4 casos:
- $0,1 \not \in B$
- $0 \in B$ e $1 \not \in B$
- $0 \not \in B$ e $1 \in B$
- $0,1 \in B$
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Então na $f^{-1}(A)$ também preciso analisar mais casos? Certo?
Acho que agora estou começando a entender essa parte, ou não :).- AAndré Caldas @andrecaldas
$f^{-1}(B)$ diz pra você quem são os elementos do domínio que são levados em $B$. Quem é levado em $0$? E quem é levado em $1$?