Seja $X$ um espaço $T_3$, e $\mathscr{F}(x)$ a família das vizinhanças fechadas de $x$. Dado um conjunto $D\subset X$, mostre que $a\in\overline{D}$ se, e somente se,
\begin{align*}
\varnothing\not\in\mathscr{F}(a)|_D.
\end{align*}
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Como vimos, em qualquer espaço topológico $(X,\tau)$, dado $a \in X$ e $D \subset X$, vale que:
$$
a \in \bar{D} \iff \varnothing\notin \mathcal{V}(a)_{|_D} \iff \varnothing \notin \mathcal{B}_a{_{|_D}}
$$Onde $\mathcal{B}_a$ é uma base de vizinhanças de $\mathcal{V}(a)$. Por hipótese, $(X,\tau)$ é $T_3$, logo o conjunto das vizinhanças fechadas $\mathcal{F}(a)$ é uma base para $\mathcal{V}(a)$. Assim:
$$a \in \bar{D} \iff \varnothing \notin \mathcal{F}(a)_{|_D} $$
- AEm resposta aJoaovitor⬆:André Caldas @andrecaldas
Esse $\varnothing$ é mais bonitinho que o $\emptyset$. :-)
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
ah, não conhecia o comando, vou editar
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu, pessoalmente, sou a favor da semântica...
Veja a diferença:
https://en.wikipedia.org/wiki/WYSIWYG
https://en.wikipedia.org/wiki/WYSIWYMO comando
\emptysetdeve representar o conjunto vazio. A representação gráfica, depende da escolha do designer de fontes. Tem muita coisa com a qual não quero me preocupar. Então, acho que quem tem que resolver isso é o pessoal da tipografia. :-)Muitas escolhas são "gosto pessoal". Por exemplo: $\Rightarrow$ (
\Rightarrow) e $\Longrightarrow$ (\Longrightarrow). Em termos de semântica, talvez o melhor seja $\implies$ (\implies). O $\TeX$ é meio bagunçado, nesse sentido. Minha tendência é:- Fazer como a maioria faz. Uma espécie de padrão de fato.
- Priorizar a semântica.
Devo confessar, que no final das contas, eu uso $\varepsilon$ ao invés de $\epsilon$ e $\varphi$, ao invés de $\phi$. Mas acho que esse problema deveria ser resolvido, não por mim, mas pelo tipógrafo! Mas, quando o padrão é realmente horrível, eu mudo. :-)
Temos que lembrar que muita coisa é gosto pessoal. E é importante lembrar que nosso gosto pessoal muda ao longo do tempo. E que o "padrão de fato" costuma ser uma coisa mais madura. Um exemplo, são as margens. No começo, todo mundo quer mudar as margens que são padrão no $\TeX$. Só que a verdade é que os tipógrafos estudam essa coisa de margem, já faz vários séculos. E não é porque você tá acostumado com os trabalhos que fazia no ensino médio, no Word da M$, com margens de 2cm e espaçamento duplo entre as linhas, que isso seja uma boa escolha. É apenas a escolha que você está acostumado. Muitos departamentos de matemática impõem que os trabalhos apresentados tenham uma margem horrível, com espaçamento entre linhas horrível... Tudo ao gosto do fulano que "decidiu" qual seria a margem boa pro departamento. E muitas vezes, não tem nenhuma "regra". Mas um copia o arquivo do outro, e vão repassando, repassando... e vai virando aquela criação de Frankenstein...
Então, quero inclusive aproveitar esse comentário pra dar uma dica:
- Você provavelmente não precisa seguir esse "modelo" que alguém lhe passou. O padrão do $\TeX$ é muito melhor.
- Quando pegar um "modelo", remova tudo o que você não souber pra que é que serve. Assim, você vai ficar com um arquivo enxuto, e vai aprender muita coisa quando remover algo que era importante. :-)
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu costumo mudar o cabeçalho, pra não ficar tudo em caixa alta. Faltou esse item... vou editar lá em cima:
- Quando o padrão é realmente horrível, eu mudo. :-)