Lista 2/01 Exercício 6.3

Pensado na equação
\begin{align*}
an+b=xm+y\iff an-xm=b-y
\end{align*}
onde $n,m$ são variáveis em $\mathbb{Z}$. Tem soluções inteiras se, e somente se, $m.d.c(a,x)$ divide $b-y$. Pensei nisso porque é o que caracteriza quando uma equação diofantina tem soluções. Ou seja, ou $S(a,b)\cap S(x,y)=\varnothing$ ou $S(a,b)\cap S(x,y)=S(z,w)$ quando $mdc(a,x)$ dividir $b-y$ isso devido ao conjunto solução das equações diofantinas.
\begin{align*}
\begin{cases}
n=n_0+\frac{a}{d}t,\ t\in\mathbb{Z}\\
m=m_0-\frac{x}{d}t,t\in\mathbb{Z}
\end{cases}
\end{align*}
onde $d=mdc(a,x)$

Mostremos que $S(a,b)$ é clopen na topologia $\tau$. De fato, pela própria construção de $\tau$ segue-se que, $S(a,b)\in\tau$. Para provar que $S(a,b)$ também é fechado em $\tau$ usarei a caracterização de que um conjunto $A\subset\mathbb{Z}$ é fechado se, e somente se, $A^c\in\tau$. Para isso, considere
\begin{align*}
F&=\mathbb{Z}-S(a,b)\\
&=\mathbb{Z}-\{an+b:n\in\mathbb{Z}\}
\end{align*}
Mostremos que, $F\in\tau$. Primeiramente, lembremos que dado um inteiro $y\in\mathbb{Z}$ existem inteiros únicos $q,r$ tais que,
\begin{align*}
y=qa+r, \ 0\leq r \leq a-1
\end{align*}
Daí, note que, $x\in S(a,b)$ se, e somente se, $x\equiv b\ (\mathrm{mod} \ a)$. Logo, tomando os inteiros $0\leq k\leq a-1$ tais que, $k\not\equiv b\ (\mathrm{mod} \ a)$ vemos que, para cada inteiro $y\in F$ existe um inteiro $k$, satisfazendo as condições dadas, tal que para algum $m\in\mathbb{Z}$
\begin{align*}
y=am+k \Rightarrow y\in S(a,k)
\end{align*}
Assim,
\begin{align*}
F=\bigcup_{0\leq k\leq a-1} S(a,k); \ k\not\equiv b\ (\mathrm{mod} \ a)
\end{align*}
Ou seja, $F\in\tau$ donde $S(a,b)=\mathbb{Z}-F$ é fechado. Portanto, $S(a,b)$ é clopen.