Este exercício pretende obter uma relação entre os fechados de um subespaço topológico com os fechados do espaços maior.
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico e $Y\subset X$ um subespaço topológico de $X$ munido da topologia induzida. Dado $F \subset Y$, definimos:
$$
\mathrm{cl}_X(F) = \{x \in X: V \cap F \neq \emptyset, \forall V \in \mathcal{V}_X(x) \}
$$
o fecho de $F$ em $X$ e:
$$
\mathrm{cl}_Y(F) = \{x \in Y: V \cap F \neq \emptyset, \forall V \in \mathcal{V}_Y(x) \}
$$
o fecho de $F$ em $Y$.
Mostre que:
$$
\mathrm{cl}_Y(F) = \mathrm{cl}_X(F) \cap Y
$$
Conclua que $F$ é fechado em $Y$ se, e somente se,
$$
F = \mathrm{cl}_X(F) \cap Y
$$
Obs: $\mathcal{V}_X(x)$ denota a família de vizinhanças de $x$ em $X$ e $\mathcal{V}_Y(x)$ denota a família de vizinhanças de $x$ em $Y$
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- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Dado $B\subset Y$ temos,
\begin{align*}
\mathrm{cl}_Y(B)&=\{y\in Y : V\cap B\neq\varnothing,\forall V\in\mathcal{V}_Y(y) \}\\
&=\{y\in Y : (V\cap Y)\cap B\neq\varnothing,\forall V\in\mathcal{V}_X(y) \}\\
&=\{y\in Y : V\cap (B\cap Y)\neq\varnothing,\forall V\in\mathcal{V}_X(y) \}\\
&=\{y\in Y : V\cap B\neq\varnothing, \forall V\in\mathcal{V}_X(y) \}=\mathrm{cl}_X(B)\cap Y
\end{align*}
Por fim, valendo a igualdade, se $B$ é fechado em $Y$ então $\mathrm{cl}_Y(B)=B$ donde
\begin{align*}
B=\mathrm{cl}_Y(B)=\mathrm{cl}_X(B)\cap Y
\end{align*}
Reciprocamente, se $B=\mathrm{cl}_X(B)\cap Y$ como $\mathrm{cl}_X(B)$ é fechado em $X$ segue-se que $B$ é fechado em $Y$ (interseção de um fechado em X com Y), isto é, $B=\mathrm{cl}_Y(B)$.- AAndré Caldas @andrecaldas
Vou mudar só um parênteses de lugar.