Lista 2/03 - Exercício 11

Esse não é o 11?

Para cada $1\leq j \leq n$ seja $\pi_j:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}_{\tau_{|\cdot|}}$ a operação projeção da $ j $-ésima coordenada e considere
\begin{align*}
\tau_\pi= \bigg\{\bigcap_{j=1}^{n}\pi^{-1}_{j}(A):A\in\tau_{|\cdot|} \bigg\}
\end{align*}
a topologia inicial gerada pela projeções onde cada $A\in\tau_{|\cdot|}$ é um aberto em $\mathbb{R}$ com a topologia usual. Daí, note que cada projeção
\begin{align*}
\pi_j:\mathbb{R}^{n}_{|\cdot|}&\rightarrow \mathbb{R}\\
v&\mapsto v_j
\end{align*}
é contínua quando $\mathbb{R}^{n}$ é munido da topologia do máximo. De fato, mostremos para $j=1$ pois é análogo caso contrário. Para isso, mostremos que $\pi_1$ é contínua em todos os ponto $v\in\mathbb{R}^n$. Dado $\varepsilon>0$ tomemos $\delta=\varepsilon$ e temos
\begin{align*}
u\in\mathbb{R}^n, \max_{1\leq j\leq n}\big\{|u_j-v_j|\big\}<\delta=\varepsilon\Rightarrow|\pi_1(u)-\pi_1(v)|=|u_1-v_1|<\varepsilon
\end{align*}
Portanto, $\pi_1$ é contínua. Sendo $\tau_\pi$ a menor topologia em que cada uma das projeções é contínua simultaneamente vemos que $\tau_\pi\subset\tau_{|\cdot|}$. Por outro lado, se tomarmos

\begin{align*}
\mathcal{F}=\bigg\{f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} \ \bigg| \ f(v)\mapsto\sum_{j=1}^{n}\alpha_jv_j ; \ \alpha_j\in\mathbb{R}, \bigg\}
\end{align*}
Em particular, as projeções pertencem a família $\mathcal{F}$ donde
\begin{align*}
\tau_\pi\subset\tau_\mathcal{F}
\end{align*}
Ou seja, a topologia inicial gerada pela família $\mathcal{F}$ contém a topologia inicial gerada pelas projeções. Por fim, cada uma das funções $f\in\mathcal{F}$ é contínua na norma do máximo $(*)$. Assim,
\begin{align*}
\tau_\pi\subset\tau_\mathcal{F}\subset\tau_{|\cdot|}
\end{align*}
Por fim, como a topologia produto sobre $\mathbb{R}^{n}$ é a menor topologia tal que todas as projeções são contínuas e, por outro lado, as bolas
\begin{align*}
B_\varepsilon(a_1) \times \dotsb \times B_\varepsilon(a_n).
\end{align*}
formam uma base para essa topologia $\tau_{|\cdot|}$, sendo os abertos na topologia produto da forma $A_1\times...\times A_n$, onde
\begin{align*}
\pi_1^{-1}(A_1) \cap \dotsb \times \pi_n^{-1}(A_n) = A_1 \times \dotsb \times A_n
\end{align*}
a continuidade das projeções na norma do máximo nos diz que $\tau_{|\cdot|}\subset\tau_\pi$ e, portanto,
\begin{align*}
\tau_\pi=\tau_\mathcal{F}=\tau_{|\cdot|}
\end{align*}
Para provar a afirmação destacada em $ (*)$ pensei no seguinte diagrama abaixo. Onde $\pi_j$ é a projeção da $j$-ésima coordenada e $m$ é a operação de multiplicação. Como $\tilde{f}=m\circ\pi_j$ é contínua para cada $0\leq j\leq n$, pois é composta de funções contínuas, a continuidade $f$ segue da continuidade de cada $\tilde{f}$.

\begin{CD}
v \in \mathbb{R}^n @>f>> \sum_{j=1}^n \alpha_jv_j\in \mathbb{R}
\\
@V{\pi_j}VV \searrow \tilde{f} @VV{g_j}V
\\
v_j @>>m> \alpha_j v_j
\end{CD}