Demonstração que $\tau^f = \{ A\subset X \ | \ f^{-1}(A)\in\tau \}$ é topologia, sendo $f:(Y, \tau)\to X$.

Note que $\emptyset$ e $X$ pertencem a $\tau^f$ pois $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in\tau$ e $f^{-1}(X) = Y\in\tau$.

Além disso, dados $A,B\in X$ tais que as imagens inversas pertencem a $\tau$, ou seja, dados $A,B\in\tau^f$, temos que $f^{-1}(A\cap B) = f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\in\tau$ (pois $\tau$ é topologia), ou seja, $A\cap B\in\tau^f$.

Por fim, dada uma família $A_{\lambda}\in\tau^f, \lambda\in\Lambda$, temos que
$$
f^{-1}\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda} \right) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(A_{\lambda})\in\tau
$$ pois $\tau$ é topologia. Logo, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda}\in\tau^f$ e segue que $\tau^f$ é topologia.