Lista 2/03 - Exercício 10

Sejam $\tau_{\mathbb{R}}$ a topologia usual em $\mathbb{R}$, $\tau_{||\cdot||}$ a topologia da norma em $E$ e $\tau_w := \{ f^{-1}(V) \subset E ; f \in E', V \in \tau_{\mathbb{R}}, f^{-1}(V) \in \tau_{||\cdot||} \}$ a topologia fraca em $E$. Seja $U \in \tau_w$ uma vizinhança aberta de $x$ em $E$, então existem $V_i \in \tau_{\mathbb{R}}$ vizinhanças abertas de $y_i := f_i(x) \in \mathbb{R}$ para $f_i \in E'$ tais que $f_i^{-1}(V_i) = U$, $i = 1, \cdots, n$ para algum $n \in \mathbb{N}^*$. Como as bolas abertas em $\mathbb{R}$ geram $\tau_{\mathbb{R}}$, podemos supor, sem perda de generalidade, que $V_i = (y_i - \varepsilon_i, y_i + \varepsilon_i)$ para $\varepsilon_i > 0$, $i = 1, \cdots, n$. Definindo $\varepsilon := \min_{i \in \{ 1, \cdots, n \}} \varepsilon_i$ e $W_i := (y_i - \varepsilon, y_i + \varepsilon)$, vemos que $x \in \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1}(W_i) \subset U$, portanto

$$\{ x \in E ; |f_i(x)| < \varepsilon, f_i \in E', i = 1, \cdots, n \} \ (1)$$

forma uma base para $\tau_w$ já que $\bigcap_{i=1}^n f_i^{-1}(W_i) \in \tau_w$ por definição de $\tau_w$. Sendo assim, basta mostrar que, se $f_1 \in E'$ não é injetiva (sempre existe um, considere, por exemplo, $f_1 \equiv 0$), então

$$B := \{ x \in E ; |f_1(x)| < \varepsilon \}$$

é ilimitado.

De fato, se $f_1 \in E'$ não é injetiva, então existe $x_0 \in E$ tal que $f(x_0) = 0$, o que implica $f(m x_0) = m f(x_0) = 0$ e, consequentemente, $m x_0 \in B, \forall m \in \mathbb{N}$, o que mostra que $B$ é ilimitado.

Agora, sejam $\emptyset \neq A \in \tau_w$ e $x_1 \in A$ quaisquer. Como os conjuntos definidos em $(1)$ formam uma base para $\tau_w$, deve existir

$$B := \{ x \in E ; |f_1(x)| < \varepsilon \}$$

tal que

$$x_1 \in B \subset A.$$

Tal $B$ sempre existe para qualquer $x_1 \in A$, basta tomar $f_1 \equiv 0$. Como $B$ é ilimitado e $B \subset A$, segue que $A$ é ilimitado.

Por fim, vamos mostrar que $||\cdot||: (E, \tau_w) \rightarrow (\mathbb{R},\tau_{\mathbb{R}})$ não é contínua. Suponha por absurdo que essa função seja contínua, então a bola

$$||\cdot||^{-1}((-1,1)) = B_1(0)$$

é um aberto na topologia fraca e, pelo que foi visto anteriormente, deve ser ilimitada, o que é um absurdo, logo $||\cdot||: (E, \tau_w) \rightarrow (\mathbb{R},\tau_{\mathbb{R}})$ não é contínua. Assim, encontramos um subconjunto $B_1(0) \subset E$ tal que $B_1(0) \in \tau_{||\cdot||}$, mas $B_1(0) \notin \tau_w$, portanto $\tau_w \subsetneq \tau_{||\cdot||}$.