Lista 2/02- Exercício 5
Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Dado um fechado $F \subsetneq X$, mostre que a função
$$\begin{array}{rrcl}
d_F :& X &\rightarrow& R \ \newline
& x & \mapsto & \inf d(x, F)
\end{array}$$
é contínua.
Tome $a \in X \ F$, utilize $d_F$ para construir uma função contínua
$$f : X → [0, 1]$$
tal que $f|_ F = 0$ e $f(a) = 1$.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Acredito que não tenha esse $\inf$ na definição de $d_F$ pois, por definição, $d(x,F)=\inf \{ d(x,a): a\in F \}$
- AAndré Caldas @andrecaldas
É uma questão de gosto... quando eu digo $f(A)$, e $A$ é um conjunto, então $f(A)$ também é um conjunto.
Se você pensar assim, $d(x,F)$ é um conjunto! :-)
$$
d(x,F) = \{ d(x,y) |\, y \in F\}.
$$
Então, você pode tomar o $\inf$ do conjunto. :-)Mas realmente, o comum mesmo é as pessoas escreverem $d(x,F)$ onde eu escrevi $d_F(x)$. De ambas as formas existe um certo abuso de notação. Mas no final das contas, a sua notação é mais bonita. :-)
- AEm resposta adiovanamussolin⬆:André Caldas @andrecaldas
Legal!
Se quiser resolver usando sequências, é só argumentar que num espaço métrico, continuidade sequencial implica em continuidade. E que portanto, você vai mostrar que quando $x_n \rightarrow a$, então $d_F(x_n) \rightarrow d_F(a)$.
Que tal você tentar demonstrar? :-)
- REm resposta adiovanamussolin⬆:Rodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Estava perambulando pelo fórum e vi que essa questão estava sem solução e decidi respondê-la.
Fixe $x \in X$. Dado $\epsilon >0$, escolha $\delta =\epsilon$ e considere $z \in B_\epsilon(x)$. Pela desigualdade triangular, temos que:
$$
d(x,y) \le d(x,z) + d(y,z), \forall y \in F \quad \mbox{e} \quad d(z,y) \le d(z,x)+d(x,y), \forall y \in F
$$
Tomando-se o ínfimo em $F$, obtemos:
$$
d_F(x) \le d(x,z) + d_F(z) \quad \mbox{e} \quad d_F(z) \le d(x,z) + d_F(x)
$$
Isto é:
$$
|d_F(x)-d_F(z)| \le d(x,z) < \epsilon
$$
Donde segue que $d_F$ é contínua. Por fim, dado $a \in F^c$, defina:
$$
f(x) = \dfrac{d_F(x)}{d_F(x)+d(x,a)}
$$
Claramente, $f$ é contínua e está bem definida pois como $F$ é fechado, $d_F(x) = 0 \iff x \in F$. Em particular, $d_F(a) > 0$. Além disso, $f(a)=1$ e $f_{|_F} = 0$.