Lista 2/01 Exercício 5.5

Tem que botar \\.

Para simplificar a demonstração vou mudar a notação de $A^c$ para $X\setminus A$.

$\textbf{(a)}$
i) $\emptyset,\ X \in \tau$
ii)Seja $A_\lambda \in \tau , \ \lambda \in I$.
Por definição $X\setminus A$ é finito então $\cap_{\lambda \in I} (X\setminus A_\lambda)$ é finito. Por De Morgan isso implica que $X \setminus \cup_{\lambda \in I} A_\lambda$ é finito e então $\cup_{\lambda \in I} A_\lambda \in \tau$.
iii) Sejam $A_1, \dots, A_n \in \tau$.
Por definição, $X \setminus A_1, \dots X\setminus A_n$ é finito. Logo $X \setminus (A_1 \cap \dots \cap A_n) = X\setminus A_1 \cup \dots \cup X\setminus A_n$ é finito, que implica que $A_1 \cap \dots \cap A_n \in \tau$.

$\textbf{(b)}$
i) $\emptyset,\ X \in \tau$
ii)Seja $A_\lambda \in \tau , \ \lambda \in I$.
Por definição $X\setminus A$ é enumerável então $\cap_{\lambda \in I} (X\setminus A_\lambda)$ é enumerável. Por De Morgan isso implica que $X \setminus \cup_{\lambda \in I} A_\lambda$ é enumerável e então $\cup_{\lambda \in I} A_\lambda \in \tau$.
iii) Sejam $A_1, \dots, A_n \in \tau$.
Por definição, $X \setminus A_1, \dots X\setminus A_n$ é enumerável. Logo $X \setminus (A_1 \cap \dots \cap A_n) = X\setminus A_1 \cup \dots \cup X\setminus A_n$ é enumerável, que implica que $A_1 \cap \dots \cap A_n \in \tau$.

$\textbf{ Obs:}$ Na letra b eu usei o resultado de análise que diz que a reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável