Mostre que $B= \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^{\ast} \}$ NÃO é aberto e nem fechado em $\mathbb{Q}$
- E@Ellen
Seja $B=\left\{\dfrac{1}{n} \ | \ n \in \mathbb{N^{*}}\right\}$.
Afirmação 1: O conjunto $B$ não é aberto em $\mathbb{Q}$.
Já sabemos que abertos em $\mathbb{Q}$ são da forma: $$\bigcup (a,b) \cap \mathbb{Q}, \ \mbox{ onde } (a,b) \subset \mathbb{R}.$$
Observe que $1 \in B$, mas não existe $r$ racional positivo de tal maneira que $$(1-r, 1+r) \subset B.$$
Logo, $B$ não é aberto.Afirmação 2: O conjunto $B$ não é fechado em $\mathbb{Q}$.
Observe que $0 \notin B$. Mas existe uma sequência $ x_{n}=\dfrac{1}{n} \in B$ tal que $x_{n} \rightarrow 0$. Isto implica que $B$ não é fechado.
- Em resposta aEllen⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Abertos de $\mathbb{Q}$ são uniões de conjuntos da forma $(a,b) \cap \mathbb{Q}$.