Lista 2/01 Exercício 5.7.a)

Oi Ellen $\bigstar$,

Para mostrar que $(X,\tau)$ é uma topologia vamos usar a Definição 4.2 das notas de aulas.

Inicialmente observe que os elementos do conjunto $\{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$ consiste dos conjuntos abertos $F^c \in \gamma$ que contém $\bigstar$ cujo complementar $(F^c )^c = F$ é limitado e fechado, logo, compacto.

Vamos lá,

1. Note que $\emptyset \in \gamma \subset \tau_X$, logo $\emptyset \in \tau_X$.
Analogamente, $X \in \gamma \subset \tau_X$, assim $X \in \tau_X$.
Portanto, $\emptyset, X \in \tau_X$.

2. Dados $A, B \in \tau_X$, temos as seguintes opções:
i. $A, B \in \gamma$;
ii. $A \in \gamma$ e $B \in \{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$;
iii. $A, B \in \{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$.

Suponha que (i) ocorra, então $A \cap B \in \gamma$, pois $\gamma_{\mathbb{R}}$ é topologia. Portanto, vale $A \cap B \in \tau$.

Se (ii) vale, então podemos considerar $B= \{\bigstar\} \cup F^c$, para algum $F^c \in \gamma$. Daí,
$$
A \cap B = A \cap (\{\bigstar\} \cup F^c) = (A \cap \{\bigstar\}) \cup (A \cap F^c) = \emptyset \cup (A \cap F^c) = (A \cap F^c) \in \gamma,
$$
pois $A,F^c \in \gamma$ e $\gamma_{\mathbb{R}}$ é topologia.

Por fim, para o item (iii) basta observar que $\{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$ é fechado por interseção finita. Sejam $A= \{\bigstar\} \cup F_1^c$ e $B= \{\bigstar\} \cup F_2^c$, daí
$$
A \cap B = (\{\bigstar\} \cup F_1^c) \cap (\{\bigstar\} \cup F_2^c) = \{\bigstar\} \cup (F_1^c \cap F_2^c) = \{\bigstar\} \cup (F_1 \cup F_2)^c \in \tau
$$
já que $(F_1 \cap F_2)^c$ é aberto.

De todo modo, a topologia $\tau_X$ é fechada por interseção finita.

3. A ideia que tive para verificar esse terceiro item foi analisar as uniões arbitrárias separadamente, em $\gamma_{\mathbb{R}}$, em $\{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$ e por fim, em $\tau_X$.

• Dado $A_\lambda$ $(\lambda \in \Gamma)$ uma família de abertos, como $\gamma_{\mathbb{R}}$ é topologia, temos $\bigcup\limits_{\lambda \in \Gamma} A_{\lambda} \in \gamma \subset \tau$, ou seja, $\bigcup\limits_{\lambda \in \Gamma} A_{\lambda} \in \tau$.

• Dado $B_\lambda$ $(\lambda \in \Gamma)$ uma família de conjuntos de $\{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$, podemos considerar $B_{\lambda} = \{\bigstar\} \cup F^c_{\lambda}$, assim $\bigcup\limits_{\lambda \in \Gamma} B_{\lambda} = \bigcup\limits_{\lambda \in \Gamma} (\{\bigstar\} \cup F^c_{\lambda}) = \{\bigstar\} \cup (\bigcup\limits_{\lambda \in \Gamma} F^c_{\lambda}) \in \tau$, pois $\bigcup\limits_{\lambda \in \Gamma} \cup F^c_{\lambda}$ é um aberto de $\gamma$.

• Dados $A_\alpha$ $(\alpha \in \Gamma{'})$ uma família de abertos em $\gamma$ e $B_\beta = \{\bigstar\} \cup F^c_{\beta}$ $(\beta \in \Gamma{''})$ uma família de abertos em $\{\{\bigstar\} \cup F^c\ \mid F^c \in \gamma, F \text{ é limitado} \}$, então
  $$
  \bigcup\limits_{\alpha \in \Gamma{'}, \beta \in \Gamma{''}} A_{\alpha} \cup B_{\beta} = \bigcup A_{\alpha} \cup (\{\bigstar\} \cup F^c_{\beta}) = \{\bigstar\} \cup (\bigcup A_{\alpha} \cup F^c_{\beta}) \in \tau
  $$

pois, $\bigcup A_{\alpha} \cup F^c_{\beta} \in \gamma$.

Logo, $\tau_X$ é fechado para união arbitraria.

Portanto, de i, ii e iii segue que $(X, \tau)$ é uma topologia.

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Obs.: No último item de 3 decidi omitir os subíndices dos comandos \bigcup pois ficou muito cheio, mas fica implícito onde cada $\alpha$ e $\gamma$ está variando.