Mostre que a projeção $$
\pi_1: X\times Y\to X
$$ é aberta.
- E@Ellen
Sejam $(X,\tau_{X}), \ (Y,\tau_{Y})$ e $(X \times Y, \tau_{X \times Y})$ espaços topológicos.
Para $C \in \tau_{X \times Y}$ arbitrário existem $A_{\lambda} \in \tau_{X}$ e $B_{\lambda} \in \tau_{Y} \ (\lambda \in \Lambda) $ tais que $$C = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \times B_\lambda,$$
visto que união de produtos cartesianos de abertos de $X$ com abertos de $Y$ é uma base para $\tau_{X \times Y}.$Daí,
$$\pi_{1}(C)=\pi_{1}\left(\bigcup A \times B\right)=\bigcup A \in \tau_{X}.$$Portanto, a aplicação $\pi_{1}$ é aberta.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasEllen, no começo você quis dizer que $A \times B$ é um elemento da base da topologia produto? Porque a família dos produtos cartesianos de abertos de $X$ com abertos de $Y$ forma uma base pra topologia produto em $X\times Y$, né?
Além disso, não entendi qual a utilidade do $A'$ e $B'$. Acho que o argumento poderia ter sido simplesmente:
dado $C\times D \in \tau_{X\times Y}$, podemos escrever esse elemento como união de produtos cartesianos de abertos de $X$ com abertos de $Y$ (já que essa família é uma base pra $\tau_{X\times Y}$). Daí é só as igualdades com a projeção que você colocou no final, usando que a projeção comuta com a união.
O que você acha?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem mesmo que tomar cuidado pra não achar que os abertos do produto são sempre da forma $A \times B$.
Assim, para $C \in \tau_{X \times Y}$, existem $A_\lambda \in \tau_X$ e $B_\lambda \in \tau_Y$ $(\lambda \in \Lambda)$ tais que
$$C = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \times B_\lambda.$$ - Em resposta aCaioTomas⬆:
"Ellen, no começo você quis dizer que $A \times B$ é um elemento da base da topologia produto?"
Eu quis dizer base mesmo ... mas depois que vc disse e relendo a Proposição 7.21. percebi que é um elemento. Obrigada!
Gostei da sua sugestão. Vou reescrever. Obrigada novamente