Considere $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y )$. Se $F$ é uma família geradora da topologia $τ_X$, então, $f$ é aberta se, e somente se, $f(F) \subseteq \tau_Y$ .
- AAndré Caldas @andrecaldas
Me pergunto se isso é realmente verdade...
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Bom, eu não consegui mostrar. Vou tentar pensar num contra exemplo então rs
- AAndré Caldas @andrecaldas
Como você definiria a função ser aberta em um ponto?
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Uma função é aberta quando $f(\tau_X) \subseteq \tau_Y$, então o natural seria dizer que uma função é aberta num ponto $a$ se $f(\tau_X(a)) \subseteq \tau_Y$. Onde $\tau(b) = \{ V \in \tau : b \in V \}$. Daí dizer que uma função é aberta é o mesmo que dizer que ela é aberta em todo ponto.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Mas aberta só em um ponto não implica que imagem de aberto seja aberta. Assim como continuidade só no ponto $a$ não implica que imagem inversa de aberto que contém $f(a)$ vá ser aberto que contém $a$.
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Pensei no que disse e faz sentido, mas não sei ainda como relacionar isso ao problema inicial. Se $f$ é aberta, temos $f(\tau_X) \subseteq \tau_Y$. Como $F$ é a família geradora, temos $F \subseteq \tau_X$ e segue o resultado que queremos. Porém, se $A \in \tau_X$, ele é união arbitrária de intersessões finitas de elementos de $F$. O que não sei garantir (ou refutar) até agora é: Como $f(F) \subseteq \tau_Y$ implica $f(\tau_X) \subseteq \tau_Y$. Nada de contra exemplo ainda também.
- AAndré Caldas @andrecaldas
- Em resposta aMatheus⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
É... o problema é que $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$. Mas pra interseção, o que vale é
$$f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B).$$ Se a inclusão for estrita, podemos ter que $f(A \cap B)$ não é aberto.- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Entendi. O contra exemplo que é dado é mais simples do que eu pensei que seria. Vou aproveitar e escrever ele aqui.
Seja $f : X \to Y$ com $X = \{0,1,2\}$ e $Y = \{0,1\}$. Seja $\mathcal{C} = \{\{0,1\},\{1,2\}\}$ uma subbase para a topologia em $X$ e considere a topologia trivial $\tau_Y = \{Y,\emptyset\}$ em $Y$. Defina $f$ por $(0,1,2) \mapsto (0,1,0)$. Observe que $Y = f(A)$ é aberto em $Y$ para todo $A \in \mathcal{C}$. Agora, temos que $\{1\}$ é aberto em $X$, pois é intercessão de dois elementos de $\mathcal{C}$, mas é fechado em $Y$ $(f(\{1\}) = \{1\})$. Isso mostra que $f$ não é aberta, mas $f(\mathcal{C}) \subseteq \tau_Y$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
O pior de tudo, é que o exercício tem solução lá no final da minha apostila!!! :-o
Eu digo assim:
Se $A_1 \cap \dotsb \cap A_2 \subset A$, então
$$f(A_1 \cap \dotsb \cap A_2) \subset f(A_1) \cap \dotsb \cap f(A_2) \subset f(A).$$Isso está errado. Pode ser que
$$f(A_1) \cap \dotsb \cap f(A_2) \not\subset f(A).$$Que vergonha... :-)
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
kkkkk acontece