Lista 2/04 Exercício 10
Suponha que $X$ e $Y$ sejam tais que a projeção
$$\pi_{1}:X\times Y \rightarrow X$$
é fechada. Mostre que se $f:X \rightarrow Y$ tem o gráfico fechado, então $f$ é contínua.
- AAndré Caldas @andrecaldas
@Ellen : Acho esse exercício muito bacana. Vale a pena tentar fazer. Acho que os exercícios anteriores (na lista) ajudam.
- MEm resposta aEllen⬆:Matheus de Freitas Souza @Matheus
Seja $x \in X$ e $V$ um aberto contendo $f(x)$. Como $Y\setminus V$ é fechado, também é fechado $X \times (Y\setminus V)$. Assim, o conjunto $A = G_f \cap (X \times (Y\setminus V))$ é fechado, onde $G_f$ denota o gráfico de $f$. Como $\pi_1$ é fechada, temos $\pi_1(A)$ fechado. Mas $\pi_1(A)$ é exatamente $X \setminus f^{-1}(V)$, o que mostra que $f^{-1}(V)$ é aberto, logo, $f$ é contínua.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu gosto mais quando o aberto é $A$. :-)
Tome um aberto $A$. Considere o fechado $F = \dotsb$. ;-)
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Realmente a notação fica mais sugestiva kkk, vou pensar nisso nas próximas
- AEm resposta aEllen⬆:André Caldas @andrecaldas
Duas dicas:
Como $\mathrm{Gr}_f$ é fechado, $\pi_1|_{\mathrm{Gr}_f}$ é uma bijeção fechada.
$f = \pi_2 \circ \left(\pi_1|_{\mathrm{Gr}_f}\right)^{-1}$.
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Não seria $f = \pi_2 \circ (\pi_1|_{G_f})$ ?
Acho que não. Note que $$(\pi_{1}|_{G_f})^{-1}: X \rightarrow X \times f(X)$$ e $$\pi_{2}: X \times Y \rightarrow Y.$$ Logo, $$f = \pi_{2} \circ (\pi_{1}|_{G_f})^{-1}: X \rightarrow Y .$$
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Verdade, confundi as coisas
- Em resposta aMatheus⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
A ideia é que quando restringimos $\pi_1$ ao gráfico, estamos identificando o gráfico com $X$. A $\pi_1$ já é contínua. Restrita ao gráfico, é uma bijeção contínua.
Quando restringimos uma aplicação fechada a um conjunto fechado, ela continua sendo fechada. Uma bijeção contínua e fechada é um homeomorfismo.
Assim, $\pi_1$ restrito ao gráfico é uma identificação entre $X$ e $\mathrm{Gr}(f)$. Não apenas como conjunto, mas como topologias (homeomorfismo). Com essa identificação, $f$ e $\pi_2$ são "a mesma coisa". E $\pi_2$ é contínua.
Ah... a aplicação $x \mapsto (x, f(x))$ também identifica $X$ e o gráfico da $f$. Essa aplicação é a inversa de $\pi_1|_{\mathrm{Gr}(f)}$. Se fizera composição com $\pi_2$, você tem a $f$.