Duas bases que geram a mesma topologia em $\mathbb{R}$

Vi este exercício no Munkres. Mostrar que as famílias
$$\mathcal{B} = \{(a,b) : a<b, a,b \in \mathbb{R}\}$$
e
$$\mathcal{B}' = \{(a,b) : a<b, a,b \in \mathbb{Q}\}$$
geram a mesma topologia (padrão) em $\mathbb{R}$. Eu procedi assim:

Denote por $\tau(\tau')$ a topologia gerada por $\mathcal{B} (\mathcal{B}')$. Como $\mathcal{B}' \subseteq \mathcal{B}$, temos diretamente que $\tau' \subseteq \tau$. Ambos os racionais e os irracionais são densos em $\mathbb{R}$, então, sendo $x \in (a,b) \in \mathcal{B}$, existe $y \in \mathbb{Q}$ e $n \in \mathbb{N}$ tal que $|y - x| < \frac{1}{n}< \varepsilon$ para qualquer $\varepsilon >0$ dado. Segue que
$$ x \in (y - \frac{1}{n}, y + \frac{1}{n}) \subseteq (a,b)$$
com ambos $y \pm \frac{1}{n} \in \mathbb{Q}'$, logo, $\tau \subseteq \tau'$ e a topologia gerada é a mesma. A ideia é usar o resultado:

$\tau \subseteq \tau'$ se, e somente se, para cada $x \in B$, com $B \in \mathcal{B}$, existe $B '\in \mathcal{B'}$ tal que $x \in B' \subseteq B$.