Dada uma função contínua $f: X \rightarrow Y$, denote por
$$Gr(f) = \{(x,f(x))\ |\ x \in X \}$$
o gráfico de f. E por
\begin{align*}
gr(f): X &\rightarrow X \times Y
\\
x &\mapsto (x,f(x))
\end{align*}
a função gráfico. Mostre que $gr(f)$ é um homeomorfismo entre $X$ e $Gr(f)$.
Note que $Gr(f) \subseteq X \times Y$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Como $f$ é contínua segue que $\mathrm{gr}(f)$ é contínua, pois é contínua coordenada a coordenada. Note também que $\mathrm{gr}(f)(X)= \mathrm{Gr}(f)$. Defina $g: \mathrm{Gr}(f) \to X$ por:
$$
g(x,f(x)) = x
$$
Claramente, $g$ é contínua pois é a restrição da projeção contínua $\pi : X \times Y \to X$ à $\mathrm{Gr}(f)$. Além disso, naturalmente $g$ é a inversa de $\mathrm{gr}(f) : X \to \mathrm{Gr}(f)$. Logo, a função gráfico $\mathrm{gr}(f)$ é um homeomorfismo sobre sua imagem.- MMohammaderfan Fahim Far @Mohammaderfan
No enunciado da questão na lista, não foi mencionado que a $f$ é contínua. Esse fato deve ser incluido no enunciado? Já que foi usado na sua demonstração.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Sim, lá está faltando essa hipótese.
- MMohammaderfan Fahim Far @Mohammaderfan
Já inclui no enunciado aqui.