Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias
Formalize a demonstração do seguinte exemplo:
(Operação de soma de dois números Reais)
A função $S: \mathbb{R}\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $S(x,y)=x+y$ é contínua na topologia produto.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Você consegue? Deve ser só usar a desigualdade triangular em
$$
|(a + x) + (b + y)| \leq |a + x| + |b + y|.
$$- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Queremos provas que
$$\forall \epsilon >0, \exists \delta >0 ; ||(x,y)-(a,b)||< \delta \implies |S(x,y)-S(a,b)|< \epsilon
$$Tomando a norma acima $||.|| $ como a norma do máximo e como para todo $ \epsilon >0$ existe $\delta< \frac{\epsilon}{2}$, temos que
$$||(x,y)-(a,b)||< \delta \implies |S(x,y)-S(a,b)|=|x+y-(a+b)|$$$$\leq |x-a|+|y-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$.
E o resultado segue .- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Agora, to em duvida se foi isso que o senhor pediu ou se era algo usando vizinhança de modo genérico ... tipo mostrar que dado qualquer vizinhança de $S(x,y)$, sua imagem inversa é vizinhança de $(x,y)$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tá excelente.
Quando você já sabe das coisas, não precisa ficar muito nos detalhes. É difícil saber quando parar. :-)
Tudo depende do que você (e seu público) entendem por continuidade.
https://youtu.be/WEBhUT8Rmcc?t=1145Talvez, só pra treinar, fosse interessante você especificar qual é exatamente a caracterização de continuidade que você está utilizando. Você pode afirmar que vai demonstrar que é contínua em um ponto arbitrário, e que vai utilizar a caracterização de continuidade xxx.
- TEm resposta adaniel1.abreu⬆:Thiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Fiz da seguinte maneira: Dado $(a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, considere $(r,s) \subset \mathbb{R}$ vizinhança aberta de $S(a,b)$, isto é, $a+b \in (r,s)$. Escolha $\tilde{r},\tilde{s} \in \mathbb{R}$ tais que $r < \tilde{r} < \tilde{s} < s$. Considere $\epsilon > 0$ (a ser determinado) e defina a seguinte vizinhança aberta de $(a,b)$:
$$Q = (a-\epsilon, a + \epsilon) \times (b-\epsilon, b + \epsilon).$$
Observe que
$$Q \subset s^{-1}((r,s)) \Leftrightarrow r < x+y < s, \forall (x,y) \in Q. $$
Mas se $(x,y) \in Q$ obtemos rapidamente a desigualdade $a+b - 2\epsilon < x+y < a+b + 2\epsilon$. Logo, $\tilde{r} - 2\epsilon < x+y < \tilde{s} + 2\epsilon$. Tomando $\epsilon < \min\{\frac{s-\tilde{s}}{2}, \frac{\tilde{r} - r}{2}\}$ concluímos que $r < x+y < s$.- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem que tomar $r < \tilde{r} < \tilde{s} < s$.
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Já fiz a modificação prof.