Aula-15/12/2021- Video- Produto de Duas Topologias
Mostre que a função
$$det: (\mathbb{R}^{n})^{n} \rightarrow\mathbb{R}$$ $$M\mapsto det(M)$$
é continua na topologia produto.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sugiro fazer primeiro para matrizes $2 \times 2$, depois $3 \times 3$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Continuando o comentário do professor, a prova pode ser feita por indução. O caso $1\times 1$ é trivial pois é a função identidade. Faça o $2 \times 2$ e aplique indução sobre $n$. No passo de indução $k = n+1$ lembre que o determinante de uma matriz $k \times k$ pode ser expresso em termos de determinantes de matrizes de ordem $(k-1) \times (k-1)$ e use a hipótese de indução
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Para o caso $2 \times 2$, olhemos para as matrizes como vetores de $\mathbb{R}^4$ da forma $(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22})$. O determinante seria a função com regra $(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}) \mapsto a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$. Vamos definir algumas funções
\begin{align*}
h : &M_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^4\\
&A \mapsto (a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22})
\end{align*}
Projeções:
\begin{align*}
\pi_{1} : &\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\\
&((a_{11}, a_{22}), (a_{12}, a_{21})) \mapsto (a_{11}, a_{22})
\end{align*}
\begin{align*}
\pi_2 : &\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\\
&((a_{11}, a_{22}), (a_{12}, a_{21})) \mapsto (a_{12}, a_{21})
\end{align*}
Função produto:
\begin{align*}
p : &\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\\
&(a,b) \mapsto ab
\end{align*}Todas estas funções são contínuas como já vimos. Então, se $A \in M_2(\mathbb{R})$, temos $\det{A} = (p \circ \pi_1 - p \circ \pi_2) \circ h (A)$ é a composição de funções contínuas, logo, contínua. Para mostrar que $\det$ é contínua em geral, basta ver que o determinante de uma matriz de ordem $n$ pode ser escrito como soma (com pesos) do determinante de matrizes menores (ordem $n-1$):
$$ \det{A} = \sum_{j}a_{ij}A_{ij}. $$
Usando que a soma de funções contínuas é contínua, chegamos no resultado que queremos.