Lista 2/04 - Exercício 9

Seja $X = Y = \mathbb{R}$ e considere o conjunto
$$\mathcal{F} = \{(x,y) \in X \times X : x,y > 0\text{ e } xy \geq 1\}.$$
Mostremos que $\mathcal{F}$ é fechado. Considere $(a,b) \in \mathcal{F}^{c}$. Vamos dividir em casos. Inicialmente suponha que $a = 0$. Se $b = 0$, a vizinhança $(-\epsilon, \epsilon) \times (-\epsilon, \epsilon)$ da origem está em $\mathcal{F}^{c}$, desde que $\epsilon < 1$. Quando $b < 0$, podemos tomar $\epsilon > 0 $ de modo que $b+\epsilon < 0$. Logo $\mathbb{R} \times (b-\epsilon, b+\epsilon)$ está em $\mathcal{F}^{c}$. Se $b > 0$, o aberto $(-\epsilon,\epsilon)\times (b-\epsilon,b+\epsilon) $ está em $\mathcal{F}^c$, desde que $\epsilon(b+\epsilon) < 1$. Se $a < 0$ e $b$ é qualquer, tomamos $\epsilon > 0$ de modo que $ a + \epsilon < 0 $ e assim $(a-\epsilon, a + \epsilon) \times \mathbb{R}$ está em $\mathcal{F}^{c}$. Agora suponhamos que $a > 0$. Se $b = 0$, o aberto $(a-\epsilon, a+\epsilon)\times (-\epsilon,\epsilon)$ está em $\mathcal{F}^{c}$ desde que $\epsilon < 1$. Quando $b < 0$, tomando $\epsilon >0$ de modo que $b+\epsilon < 0$ obtemos $(a-\epsilon,a+\epsilon) \times (b-\epsilon,b+\epsilon) \subset \mathcal{F}^{c}$. Por fim, suponha que $a> 0$ e $b > 0$. Como $a.b < 1$, podemos escolher $\epsilon > 0$ de modo que $(a+\epsilon)(b+\epsilon) < 1$. Assim, $(a-\epsilon,a+\epsilon) \times (b-\epsilon,b+\epsilon) \subset \mathcal{F}^{c}$.

Assim o complementar de $\mathcal{F}$ é aberto em $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ e portanto o mesmo é fechado. Entretanto $\pi_{1}(\mathcal{F}) = (0,\infty)$, pois, dado $r \in (0,\infty)$, temos $(r, 1/r) \in \mathcal{F}$ e $\pi(r,1/r) = r$.

Considere $X = Y = \mathbb{R}$ e seja $F=\{(1/n, n) : n \in \mathbb{N}\}$. Note que $F$ é fechado em $\mathbb{R}^2$ pois não possui pontos de acumulação, logo $\overline{F} \setminus F = \emptyset$. No entanto, considerando a projeção $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dada por $\pi_1(x,y) = x$, temos que:
$$
\pi_1(F) = \{1/n: n \in \mathbb{N} \}
$$
Que não é fechado em $\mathbb{R}$ pois não contém o $0$.