Mostre que se $X_{\lambda}$ ($\lambda \in \Lambda$) são espaços de Hausdorff, então
$$X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda}$$
também é Hausdorff.
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- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Sejam dois pontos distintos $x = (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}, y= (y_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \in X$. Desde que $x\neq y$, existe $\lambda\in \Lambda$ tal que $x_\lambda\neq y_\lambda$. Assim, $x_\lambda$ e $y_\lambda$ são dois pontos distintos de $X_\lambda$. Por hipótese, $X_\lambda$ é Hausdorff, assim existem abertos disjuntos $U^\lambda_x, U^\lambda_y \subset X_\lambda$ tais que $x_\lambda\in U^\lambda_x$ e $y_\lambda\in U^\lambda_y$. Considere a projeção natural $\pi_\lambda: X \to X_\lambda$ dada por:
$$
\pi_\lambda(x) = x_\lambda
$$
Defina então:
$$
U_x= \pi_\lambda^{-1}(U_x^\lambda) \quad \mbox{e} \quad U_y= \pi_\lambda^{-1}(U_y^\lambda)
$$
Temos que $U_x,U_y$ são abertos em $X$. Além disso, como $U^\lambda_x$ e $U^\lambda_y$ são disjuntos, $U_x \cap U_y = \emptyset$. Além disso, $x\in U_x$ e $y \in U_y$. Logo, $X$ é Hausdorff.