Lista 2/05 - Exercício 4

Considere a métrica $d: \Omega \times \Omega \to [0,\infty)$ dada por:
$$
d(x,y) = \sup_{j\in\mathbb{N}}\dfrac{|x_j-y_j|}{j}
$$
Considere $\tau$ a topologia produto em $\Omega$ e $\tau_d$ a topologia induzida pela métrica. Por $(\Omega,\tau_d)$ ser um espaço métrico, podemos gerar $\tau_d$ através da família:
$$
\mathcal{B} = \{B_r(a): r> 0, a \in \Omega \}
$$
Notemos que:
$$
x \in B_r(a) \iff \sup_{j\in\mathbb{N}}\dfrac{|x_j-a_j|}{j} < r \iff \dfrac{|x_j-a_j|}{j} < r, \forall j \in \mathbb{N} \iff |x_j-a_j| < rj, \forall j \in \mathbb{N}
$$
Assim, para todo $a \in \Omega$ e para todo $r>0$:
$$
B_r(a) = \prod_{j \in \mathbb{N}} B^j_{rj}(a_j)
$$
Onde $B^j$ denota a bola no j-ésimo conjunto $[0,1]$. Aliás, é suficiente considerar apenas os raios da forma $1/n$. Temos assim a base:
$$
\mathcal{B}'=\{B_{1/n}(a): n \in \mathbb{N}, a \in \Omega \}
$$
E para cada $n \in \mathbb{N}$:
$$
B_{1/n}(a) = \prod_{j \in \mathbb{N}} B^j_{j/n}(a_j)
$$
Note que para todo $j > n$, $B^j_{j/n}(a_j) \supset \overline{B^j_1}(a_j) = [0,1]$. Assim, sendo $N=\mathbb{N}\setminus\{1,..., n\}$
$$
B_{1/n}(a) = \prod_{j \le n} B^j_{j/n}(a_j) \times [0,1]^{N}
$$
que é um aberto em $(\Omega,\tau)$.
Por outro lado, dado $O$ um aberto da base de $(\Omega,\tau)$, existe um conjunto finito de índices $I=\{n_1,...,n_j\}$ tal que:
$$
O=\prod_{i =1}^{j} (A_{n_i}) \times \prod_{n \in \mathbb{N} \setminus I} [0,1]
$$
Onde cada $A_{n_j}$ é um aberto em $[0,1]$ e portanto contém uma bola de $[0,1]$. Assim, $O$ é um aberto em $\tau_d$.

Dessa forma, $\tau = \tau_d$.

Com relação a métrica $p : \Omega \times \Omega \to [0,+\infty)$ dada pelo supremo:
$$
p(x,y) = \sup_{j \in \mathbb{N}} |x_j-y_j|
$$
Temos que $d(x,y) \le p(x,y)$, logo a topologia produto (que é a topologia da métrica $d$) é mais fraca que a topologia induzida pelo supremo!