Lista 2/05 - Exercício 3

Para mostrar a existência desse homomorfismo iremos construí-lo. Defina
\begin{align*}
f:\ &C &&\rightarrow\ X
\\
&(c_1,c_2,\dots,c_n,\dots) &&\mapsto (c_1,2c_2,\dots,nc_n,\dots)
\end{align*}
Note que, de fato, $f$ leva $C$ em $X$, pois a $n$-ésima cordenada de $f(c)$ satisfaz $0\leq nc_n\leq 1$. Além disso, $f$ é injetiva, pois $f(c)=f(x)$ se, e somente se, $nc_n=nx_n$ para todo ou $n$, ou seja, $c_n=x_n$ para todo $n$ e daí $c=x$.
Dado um ponto $x=(x_1,x_2,\dots)\in X$ tome $c=(x_1,x_2/2\dots,x_n/n\dots)\in C$, temos $f(c)=x$, ou seja, $f$ também é sobrejetiva.
Para verificar que $f$ é contínua mostraremos que cada função-coordenada $f_n(c)=nc_n$ é contínua. Note que $f_n$ é a composta das funções contínuas $\pi_n: C \rightarrow [0,1/n]$ e $a_n: [0,1/n] \rightarrow [0,1]$, onde $a_n$ é dada por $a_n(x)=nx$.
A função inversa $f^{-1}: X \rightarrow C$ é dada por $f^{-1}(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)=(x_1,x_2/2,\dots,x_n/n,\dots)$. De forma análoga $f^{-1}$ é a composta das funções contínuas $\pi_n: X\rightarrow [0,1]$ e $b_n: [0,1]\rightarrow [0,1/n]$, onde $b_n$ é dada por $b_n(x)=x/n$.
Assim, mostramos que $f$ é uma bijeção contínua com inversa contínua, i.e., um homeomorfismo.

(Demonstração desnecessariamente complicada da continuidade de $f$ e $f^{-1}$):
Para verificar que $f$ é contínua mostraremos que cada função-coordenada $f_n(c)=nc_n$ é contínua, para tanto verificaremos que a imagem inversa de uma base de $[0,1]$ é um aberto de $C$. Podemos tomar uma base de $[0,1]$ composta por abertos do tipo $(a,b)\cap [0,1]$, onde $(a,b)\subset \mathbb{R}$ (topologia induzida da reta), temos $f_n^{-1}((a,b)\cap[0,1])=\pi_n^{-1}((a/n,b/n)\cap [0,1/n])$ (ou seja, os pontos que estão nessa imagem inversa podem ter qualquer coordenada, exceto pela $n$-ésima coordenada, que precisa estar em $(a/n,b/n)\cap [0,1/n]$). Por definição (estou supondo $X$ e $C$ estão munidos da topologia produto) $\pi^{-1}((a/n,b/n)\cap [0,1/n])$ é um aberto de $C$ já que $(a/n,b/n)\cap [0,1/n]$ é um aberto de $[0,1/n]$ (na topologia induzida da reta). Dessa forma temos que $f$ é contínua.
A função inversa $f^{-1}: X \rightarrow C$ é dada por $f^{-1}(x_1,x_2,\dots,x_n,\dots)=(x_1,x_2/2,\dots,x_n/n,\dots)$, podemos argumentar de forma análoga para mostrar a continuidade de $f^{-1}$, denote $f^{-1}=g$, mostraremos que cada função-coordenada $g_n(x)=x_n/n$ é contínua. Para tanto tome um aberto $(a,b)\cap [0,1/n]$ de $[0,1/n]$, a imagem inversa desse conjunto é $g_n^{-1}((a,b)\cap[0,1/n])=\pi^{-1}_n((na,nb)\cap[0,1])$ que é um aberto de $X$.