Lista 2/05 - Exercício 7

na realidade esse exercício deveria ser postado em

https://topologia.talkyard.net/latest/exercicios-da-lista

Só para confirmar:

$$S^\Omega = \{f: S \to \Omega\}$$

certo?

Defina
\begin{align*}
\varphi: S' &\rightarrow S^{\Omega}\\
x &\mapsto \varphi(x) := x * f(\cdot),
\end{align*}
onde $*$ é a multiplicação em $\mathbb{C}$ e $f \in \Omega$.

Vamos mostrar que $\varphi$ é injetiva.

Suponha $\varphi(x) = \varphi(y)$, então

$$\varphi(x) (f) = \varphi(y) (f) \Longrightarrow x * f(z) = y * f(z) \Longrightarrow (x - y) * f(z) = 0.$$

Como $f(z) \in S$ para todo $z \in S'$, $x - y = 0$, o que prova a injetividade de $\varphi$.

Antes, de provarmos a continuidade de $\varphi$. Precisamos de uma topologia em $S^{\Omega}$. Sendo assim, defina a topologia final $\tau^{\varphi}$ em $S^{\Omega}$ por conveniência, então
\begin{align*}
\varphi: (S',\tau_{S'}) &\rightarrow (S^{\Omega},\tau^{\varphi})\\
x &\mapsto \varphi(x),
\end{align*}
onde $\tau_{S'}$ é a topologia induzida em $S'$ pela topologia usual de $\mathbb{C}$, é uma aplicação contínua.

Agora, vamos provar o seguinte lema:

$\textbf{Lema:}$ sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos e $f: X \rightarrow Y$ uma função bijetiva. As seguintes afirmações são equivalentes:

a) $f$ é um homeomorfismo;
b) $f$ é contínua e aberta.

$\textbf{Demonstração:}$

a $\Longrightarrow$ b

Seja $A$ um aberto em $X$. Por hipótese, $f^{-1}: Y \rightarrow X$ é uma aplicação contínua, então

$$f(A) = (f^{-1})^{-1}(A)$$

é um aberto em $Y$, portanto $f$ é aplicação aberta.

b $\Longrightarrow$ a

Seja $A$ um aberto em $X$. Por hipótese, $f: X \rightarrow Y$ é uma aplicação aberta, então $f(A)$ é um aberto em $Y$, mas

$$(f^{-1})^{-1}(A) = f(A),$$

portanto $f^{-1}: Y \rightarrow X$ é contínua. c.q.d.

Como $\varphi$ é injetiva, contínua e sobrejetiva sobre a imagem, é suficiente mostrar que $\varphi$ é uma aplicação aberta para mostrar que $\varphi$ é um homeomorfismo sobre a imagem pelo lema anterior.

Seja $A$ um aberto em $S'$. Note que $\varphi(A)$ é um aberto em $S^{\Omega}$, pois
$\varphi^{-1}(\varphi(A)) = A$ ($\varphi$ é bijetiva) é um aberto em $S'$ e a topologia em $S^{\Omega}$ é a topologia final $\tau^{\varphi}$, logo $\varphi: (X,\tau_{S'}) \rightarrow (S^{\Omega},\tau^{\varphi})$ é uma aplicação aberta.