Seja $C([a,b])$ o espaço das funções contínas $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ munido da topologia produto. Mostre que a aplicação à seguir é contínua:
\begin{align*}
\phi : C([3,5]) &\rightarrow C([-3,6])
\\
f &\mapsto
\begin{array}[t]{lrl}
\phi(f):
&[-3,6]&\rightarrow \mathbb{R}
\\
&x &\mapsto f\left(\frac{2(x+3)}{9} + 3 \right)
\end{array}
\end{align*}
- AAndré Caldas @andrecaldas
Dei uma melhoradinha na formatação. Ainda não tá bom... mas melhorou. :-)
- MMohammaderfan Fahim Far @Mohammaderfan
Obrigado, professor! Não sei como posso melhorar ainda mais a formatação.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Ao invés do
\begin{align*} \end{align*}, tem que usar algo tipo\begin{array}\end{array}, que dá pra aninhar (botar um dentro do outro). Usaralignpra essas coisas foi preguiça minha... acabei ensinando algo não muito correto. :-)Mas não precisa se preocupar tanto, não. Só se tiver interesse. ;-)
- TEm resposta aMohammaderfan⬆:Thiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Primeiramente, note que
$$C([3,5]) = \{ f: [3,5] \rightarrow \mathbb{R} : f\text{ é contínua}\} \subset \Pi_{x \in I} Y_x,\quad \text{onde} I = [3,5]\text{ e }Y_x = \mathbb{R},\forall x \in I.$$
Analogamente, $C([-3,6]) \subset \Pi_{y \in J} Z_y,$ onde $J = [-3,6]$ e $Z_y = \mathbb{R}$, para todo $y \in J.$ Denotemos por $\tau$ e $\gamma$ as topologias produto restritas a $C([3,5])$ e $C([-3,6])$, respectivamente. Para provar que $\varphi$ é contínua, é suficiente mostrar a continuidade da seguinte composição
$$\pi_{y}\circ \varphi : (C([3,5]), \tau) \rightarrow \mathbb{R}, \forall y \in J,$$
onde $\pi_{y} : C([-3,6]) \rightarrow \mathbb{R}$ é dada por $\pi_{y}(g) = g(y)$. Dado $f \in C([3,5])$ temos
$$(\pi_{y}\circ \varphi)(f) = \pi_{y}(\varphi(f)) = \varphi(f)(y) = f\left(\frac{2(y+3)}{9} + 3 \right).$$
Como $\frac{2(y+3)}{9} + 3 \in [3,5], \forall y \in J$, concluímos que
$$(\pi_{y}\circ \varphi)(f) = \pi_{x_0}(f), \quad \forall f \in C([3,5])$$
onde $x_0 = \frac{2(y+3)}{9} + 3$ e $\pi_{x_0} : C([3,5]) \rightarrow \mathbb{R}$ é dada por $\pi_{x_0}(f) = f(x_0)$. Na topologia produto $\tau,$ sabemos que $\pi_{x_{0}}$ é contínua. Portanto, $\pi_{y} \circ \varphi$ é contínua, como queríamos.- AAndré Caldas @andrecaldas
$C([3,5])$ são funções contínuas, enquanto que $\mathbb{R}^{[3,5]}$ são funções quaisquer.
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Verdade, perdão prof. Vou corrigir.