Lista 2/04- Exercício 7

Seja a função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por:
$$
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{x}, &\quad& x \neq 0 \\
0, &\quad& x =0
\end{cases}
$$
Note que $f$ é descontínua em $x=0$.
Com efeito, basta tomar a sequência $x_n = \dfrac{1}{n}$. Claramente, $x_n \to 0$, mas $f(x_n) = n \to \infty$.
Por outro lado, seja:

$$
G(f) = \{(x,f(x)): x \in \mathbb{R}\}
$$
Mostraremos que $G(f)$ é fechado em $\mathbb{R}^2$. Como a topologia produto em $\mathbb{R}^2$ advém da métrica usual, basta mostrar que $G(f)$ é sequencialmente fechado. Seja então $(x,y)\in \mathrm{s-cl}(G(f))$. Assim, existe $(x_n) \subset \mathbb{R}$ tal que $(x_n,f(x_n))\to (x,y)$.

Caso $x\neq 0$, então $f(x_n) \to f(x)$, afinal $f$ é contínua em $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Assim, $(x,y)=(x,f(x)) \in G(f)$
Caso $x=0$ e $y\neq 0$, então $x_n\to 0$ e $f(x_n) \to y \neq 0$. No entanto, desde que $x_n \to 0$, $f(x_n) = 1/x_n > y$ para $n$ arbitrariamente grande. Assim, $\{(0,y): y \in \mathbb{R}\}\cap \mathrm{s-cl}(G(f)) = \{(0,0)\}$.

Daí,

$$
\mathrm{s-cl}(G(f)) = \{(0,0)\}\cup \{(x,f(x)): x \neq 0 \} = G(f)
$$

Portanto, $G(f)$ é fechado.