Mostre que se $ X $ e $ Y$ são Hausdorff, então $X \times Y$ também é.
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Sabemos que X é um espaço de Hausdorff, se para todo $x, y \in X$ distintos, existem $A, B$ abertos tais que $x \in A$, $y ∈ B$ e $A \cap B= \varnothing$.
Mostremos que $X \times Y$ é espaço de Hausdorff:Sejam $(x_{1}, y_{1}),(x_{2}, y_{2}) \in X \times Y$ distintos. Suponha, sem perda de generalidade, $x_{1} \neq x_{2}$. Então, existem $U, V \in \tau$ disjuntos tais que $x_{2} \in U$ e $x_{1} \in V$. Note que $(x_{2}, y_{2}) \in U \times Y$ e $(x_{1}, y_{1}) \in V \times Y$. Além disso, tanto $U \times Y$ , quanto $V \times Y$ são abertos disjunto. Logo, $X \times Y$ é espaço de Hausdorff.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Se $X_\lambda$ ($\lambda \in \Lambda$) é uma família de espaços topológicos de Hausdorff. Mostre que o produto
$$X = \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$$
também é de Hausdorff.- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Seja $X_\lambda$ $(\lambda \in \Lambda)$ uma família de espaços de Hausdorff, queremos provar que o produto dessa família também é de Hausdorff.
Sejam $x_{\lambda}$, $y_{\lambda} \in \prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$, de modo que $x_{\lambda} \neq y_{\lambda}$. Então, existem $U, V$ abertos disjuntos de $X_\lambda$ contendo $x_{\lambda}$ e $y_{\lambda}$. Assim, $\pi^{-1} (V)$ e $\pi^{-1}(U)$ são abertos disjuntos em $\prod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda$.