Lista 1/01 - 01/12
Tópico para discutirmos os exercícios da lista de hoje 01/12/21
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Nos exercícios 14-17, toma-se $X=[0,1]^{{\mathbb{N}}^*}$. No entanto, eu desconheço essa notação. Alguém poderia clarificar que conjunto é este?
- CCésar Augusto Rubim @cesar_rubim
Posso estar enganado, mas eu chutaria que esse seria o conjunto das sequências $(a_1,a_2, \dots)$, onde $a_i \in [0,1] $
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
faz sentido, devido a como se define a métrica posteriormente
- Em resposta arodolfo_edp⬆:Deduardo felipe @dadofelipe
Iria fazer a mesma pergunta , vocês foram mais rápidos :)
- CCésar Augusto Rubim @cesar_rubim
Garela, eu n tenho certeza se essa notação representa o que eu falei mesmo não em hehehehe
- MMarcio Henrique @marciodoblackpink
Acredito que seja isso mesmo viu, acredito que seja o conjunto das sequências em $[0,1]$, $x_n \in [0,1]$, daí cada entrada da seq. pertence ao intervalo $[0,1]$.
- Em resposta arodolfo_edp⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Vale a pena dar uma olhada:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesianoPrincipalmente na parte
https://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_cartesiano#Produto_infinito- CCésar Augusto Rubim @cesar_rubim
Só pra ter certeza, um elemento desse conjunto acaba por ser da forma que eu citei, certo professor?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim.
Um par de números reais $p = (a_1, a_2)$ funciona como se fosse uma função
$$\begin{align*}p: \{1,2\} &\mapsto \mathbb{R} \\ n &\rightarrow a_n \end{align*}.$$Uma sequência $p = (a_1, a_2, a_3, \dotsc)$ funciona como se fosse uma função
$$\begin{align*}p: \mathbb{N}^* &\mapsto \mathbb{R} \\ n &\rightarrow a_n \end{align*}.$$
- Em resposta aandrecaldas⬆:RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
então, na realidade
$
[0,1]^{{\mathbb{N}}^*} = \prod_{n\in \mathbb{N}, n \neq 0} X_n
$onde $X_n=[0,1]$, para todo $n\neq0$?
Mas isso, implicaria dizer que dado um elemento $x\in X$, podemos escrever $x=(x_1,...,x_j,...)$, onde cada $x_j\in [0,1]$, que basicamente seria dizer o que o colega @cesar_rubim comentou, que $x$ seria uma sequência com cada um de seus elementos no intervalo $[0,1]$?
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
já vi aqui que o senhor confirmou, na hora que respondi minha pagina estava desatualizada
- AAndré Caldas @andrecaldas
É normal. A gente tá escrevendo... tudo bonitinho... uma trabalheira... e quando vê... já tá desatualizado. :-)
- R2Em resposta arodolfo_edp⬆:Junior Rodrigues Moyses @rmoyses
Uma das coisas que me admira é o fato como uma métrica "determina a geometria no espaço métrico à ela associado" como dá pra perceber no exercício 2 da lista onde para cada tipo de métrica definimos as sequências, as vizinhanças, as bolas... Recentemente finalizei uma IC na graduação que desenvolvemos um trabalho próximo disso, na qual a partir de uma métrica deduzida estudamos as distâncias e as cônicas em um espaço de Randers. Estou com grandes expectativas para esse curso, estou achando um máximo tudo até agora, os conteúdos, o professor, a didática, a interação com todos por esse software... espero aproveitar ao máximo tudo que nos aguarda!
- Deduardo felipe @dadofelipe
Compartilho com você esse mesmo fascino que a utilização de métricas distintas pode alterar a forma como compreendemos os espaços e suas inter-relações, quando realizei um curso sobre curvas e superfícies no espaço de Minkowski tive um vislumbre desta loucura que é matematica kkkk. Percebi que é área de topologia que vai explodir minha mente.
- Em resposta armoyses⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Imagine o espaço das sequências "com suporte compacto". Explicando... é um subconjunto de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, tal que apenas um número finito de entradas tem valor diferente de $0$. Nesse conjunto, você pode colocar as normas:
- Do supremo (máximo).
- Normas $\ell^n$: $\|a\| = \sum_{j = 0}^\infty |a_j |^n$.
Completar uma métrica é como "preencher os buracos". Como fazemos pra construir os números reais a partir dos racionais. Cada métrica dessas dá um completamento diferente. Os "buracos" (pontos que estão "faltando") são diferentes em cada uma dessas métricas. São os espaços $\ell^n$ e $\ell^\infty$.
- JEm resposta arodolfo_edp⬆:João Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
No exercício 2 estou com uma certa dificuldade em dizer quem são os abertos e as vizinhas em alguns itens. Pois, por exemplo, uma vizinhança de um ponto é qualquer subconjunto que contenha uma bola centrada nesse ponto. Então, em tese, se eu sei definir uma bola em um espaço métrico uma vizinhança poderia ser caracterizada com base nessa definição mas não sei se essa é a melhor maneira de fazer isso. Se alguém puder exemplificar a partir de um exercício da lista ficaria agradecido.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Creio que vc não precisa se preocupar em caracterizar as vizinhanças, já que vizinhança é todo conjunto que contém uma bola. O legal é ver que de forma se caracteriza uma bola em um certo espaço métrico. Em resumo, se vc sabe caracterizar as bolas, as vizinhanças também estão caracterizadas.
- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
O exercício é muito mal feito! É aberto quando satisfaz a definição! Os abertos são todos os conjuntos que satisfazem a definição. É vizinhança, quando satisfaz a definição! E assim por diante!
Por outro lado, às vezes dá pra falar "em português" de uma maneira que fica legal. Por exemplo, no item $1$, os abertos são $\emptyset$ e $X$. As vizinhanças de qualquer ponto são só o conjunto $X$. A única bola centrada em qualquer ponto é o $X$. No item $2$, as bolas são os conjuntos unitários e o $X$ todo. Por outro lado, as vizinhanças de um ponto $a$ são quaisquer conjuntos que contenham o ponto $a$. Todos os conjuntos são abertos.
A maioria desses itens, nem vale a pena ficar descrevendo essas coisas, porque é praticamente a definição: as vizinhanças são os conjuntos que contém uma bola, etc. Tente fazer só o que achar interessante!
Seria interessante se vocês fizessem um post pra cada item desses. E aí poderiam discutir essas coisas para cada item.
- AEm resposta arodolfo_edp⬆:André Caldas @andrecaldas
Acho que essa coisa de um tópico pra cada lista não dá muito certo, não. Acho que é melhor um tópico pra cada pergunta!
Criei uma categoria só pra dúvidas dos exercícios. A ideia é que fique parecido com o StackExchange. :-)
- Progress
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Na questão 1.3.4, estaria implícito que o conjunto de índices $\Lambda$ é enumerável? Pergunto isso devido a série $\sum_{\lambda \in \Lambda} d_{X_{\lambda}}(x_\lambda, y_{\lambda})$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não. Não precisa...
E agora??? :-)
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
acho que a soma ser não enumerável não gera problema por conta da definição do espaço $\tilde{X}$, já que se está pedindo nesse espaço que a soma seja finita
- AAndré Caldas @andrecaldas
@thiagogmelo : Queria agradecer pela pergunta! Um dos objetivos da questão era realmente que você fizesse essa pergunta! Significa que você está prestando atenção... :-)
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Acho que entendi prof. Não estava lembrado da definição de uma soma sob um conjunto de índices qualquer. Mas poderia me confirmar se a seguinte definição está correta?
$$\sum_{\lambda \in \Lambda} d_{X_{\lambda}}(x_{\lambda}, y_{\lambda}) = \sup_{I \subset \Lambda}\left\{\sum_{\lambda \in I} d_{X_{\lambda}}(x_{\lambda}, y_{\lambda}) \right\},$$
onde o supremo é tomado sob todos os subconjuntos $I \subset \Lambda$, enumeráveis. Assim não precisaríamos de fato falar da enumerabilidade de $\Lambda$. - TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Verdade, boa observação. Minha dúvida mesmo foi na definição inicial da aplicação $d$, pois inicialmente se define em $X \times X$ e aparece a série cuja definição não estava lembrado.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. É mais ou menos isso. Eu diria $I \subset \Lambda$ finitos. Assim, você não precisa se preocupar com somas infinitas. Eu também não tomaria o "supremo". É mais uma espécie de limite. Só que limite de quê???
Nem sempre dá pra somar. No caso de os números serem sempre positivos, aí dá. E aí pode usar o supremo. :-)
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Entendi professor, muito obrigado.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Vou dar uma viajada... se não entender, não se preocupe. Ao longo do curso, você volta aqui pra ver se entendeu mais um pouco. :-)
Seja $F$ a família de todos os subconjuntos finitos de $\Lambda$. Podemos definir:
$$
\begin{align*}
S: F &\rightarrow \mathbb{R}
\\
I &\mapsto \sum_{\lambda \in I} d_{X_\lambda}(x_\lambda, y_\lambda).
\end{align*}
$$Considere $X = F \cup \{\infty\}$. Vamos colocar uma topologia em $X$. Na verdade... vamos, mais ou menos dizer o que são as "bolas" centradas em $\infty$. Ao invés de $\varepsilon > 0$, vamos usar subconjuntos finitos $I \subset \Lambda$.
$$
B_I(\infty) = \{J \subset \Lambda: I \subset J\}.
$$
O que a gente quer, é "estender $S$ continuamente". Ou seja, definir $S(\infty)$, de modo que $S$ seja contínua no ponto $\infty$. Num certo sentido, quando nos aproximamos de $\infty$, $S$ se aproxima de quanto? - TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Muito interessante prof. Acredito que quando nos aproximamos de $\infty$, S irá se aproximar do que queremos entender por soma sob os índices em $\Lambda$. Confesso que viajei um pouco no significado de $\{\infty\}$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Imagine uma sequência de conjuntos finitos $I_n$. O que significa esses conjuntos se aproximarem de infinito? Se $\Lambda$ for enumerável, você enumera ele $\Lambda = \{\lambda_1, \lambda_2, \dotsc\}$, e diz que $I_n$ tem que conter todo mundo até o $M$-ésimo $\lambda$.
É assim que falamos de uma sequência $a_n \in \mathbb{R}$ convergir pra $\infty$. Pra todo $M \in \mathbb{R}$, existe $n$ tal que $a_n > M$.
Se o $\Lambda$ não for enumerável, sequências não serão suficientes pra tratar desse problema. Mas o $\infty$, funciona igualzinho.
- TThiago Guimarães Melo @thiagogmelo
Vlwww prof. Ainda ficou um pouco abstrato pra mim, mas acredito que com o desenvolvimento do curso irá ficar mais claro.