Mergulho num espaço produto

Li uma coisa interessante no livro do Munkres e resolvi um exercício relacionado que acredito ser de interesse.

Seja $f:X \to Y$ uma função injetiva e contínua e denote por $Z$ o conjunto $f(X)$. Veremos $Z$ como um subespaço de $Y$ (consideramos a restrição da topologia de $Y$ a $Z$). O resultado que usaremos sem demonstrar é que uma função
\begin{align*}
f: &A \to X \times Y \\
&a \mapsto (f_1(a),f_2(a))
\end{align*}
é contínua se, e somente se, cada coordenada $f_1,f_2$ é contínua.

Seja $y_0 \in Y$ um elemento fixado e considera a função $f: X \to X\times Y $ com a regra $x \mapsto (x,y_0)$. Então $g$, a função obtida de $f$ restringindo o contradomínio é um mergulho de $x$ em $X \times \{y_0\} = Z$.

Observe que $g$ é injetiva porque $f$ é e, além disso, verificamos facilmente que ela é sobrejetiva. Seja $B$ um subconjunto aberto de $Z$, então , $B = Z \cap U$ com $U$ aberto em $X \times Y$. Como
$$g^{-1}(B) = f^{-1}(U),$$
pois $f(X) \subseteq Z$, concluimos que $g$ é contínua ($f^{-1}(U)$ é aberto). Além disso, sendo $U$ aberto em $X$, temos que $g(U) = U \times \{y_0\}$ é aberto (produto de abertos), logo, $g$ é um homeomorfismo, i.e., um mergulho.

PS: espero ter usado corretamente a terminologia no que se refere a 'mergulho'. Em inglês é imbedding.