Lista 2/05 - Exercício 8
Este exercício mostra um exemplo de um sistema dinâmico definido na reta real (vista como subconjunto do círculo unitário) que não pode ser estendido continuamente a todo o círculo.
Seja $S\subset \mathbb{C}$ o círculo unitário e $S'=S\setminus \{1\}$. Seja o sistema dinâmico $T: S'\to S'$ dado por:
$$T(a,b) = \begin{cases}
(a,b), & b \ge 0 \\
-1, & b<0
\end{cases} $$
Mostre que não existe uma transformação contínua $\bar{T}: S \to S$ tal que $\bar{T}(x)=T(x), \forall x \in S'$
- AAndré Caldas @andrecaldas
Editei o
cases, pra ficar alinhado. É só usar&depois da vírgula. - AEm resposta arodolfo_edp⬆:André Caldas @andrecaldas
Este exercício tem relação com o trabalho final sobre compactificação de sistemas dinâmicos. Ele mostra que compactificar o sistema pode não ser fácil.
- MEm resposta arodolfo_edp⬆:Marcio Henrique @marciodoblackpink
Eu ia pedir ajuda nessa questão, haha, vou aguardar alguém enviar uma ideia aqui. ^^
- AAndré Caldas @andrecaldas
$S'$ é o círculo menos um ponto. Então, é como se fosse um intervalo.
Uma função contínua $\tilde{T}: S \rightarrow S$ tem que ser tal que quando você se aproxima do $1$,
$$\tilde{T}(x) \xrightarrow{x \rightarrow 1} \tilde{T}(1).$$Mas a transformação do enunciado, quando você se aproxima de $1$ pelo sentido horário, dá uma coisa. Quando você se aproxima no sentido anti-horário, dá outra coisa.
Agora, formalize isso e coloque uma resposta ao post. :-)