Fecho de um conjunto no espaço de sequências

Não consigo resolver o seguinte problema:

Considere $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ o espaço das sequências em $\mathbb{R}$. Denote por $\mathbb{R}^{\infty}$ o conjunto das sequências que são eventualmente nulas. Qual o fecho de $\mathbb{R}^{\infty}$ nas topologias produto (gerada pela subbase contendo elementos da forma $\pi_i^{-1}(U_i)$ com $U_i$ aberto em $\mathbb{R}$) e na topologia com base que consiste dos elementos da forma $\prod_{i \in \mathbb{N}} U_i$, onde $U_i$ é aberto em $\mathbb{R}$?

Se $x \in cl(\mathbb{R}^{\infty})$ e consideramos a segunda topologia, então $U_i$ deve ser um aberto contendo $0$ para um número infinitos de índices. Mas, na topologia produto, as coisas são menos restritivas, pois $U_i = \mathbb{R}$ exceto para um número finito de índices. Só consegui chegar até aqui, não sei concluir o que vai ser o fecho deste conjunto.