Lista 2/05 - Exercício 6 (Série A)

Vamos adaptar o cubo de Hilbert original, e construir o espaço
$$\Omega = \prod_{n \in \mathbb{N}} [0,1/n^2] = [0,1] \times [0,1/2^2] \times [0,1/3^2] \times [0,1/4^2] \times [0,1/5^2] \times ... .$$
A topologia em $\Omega$ induzida pela métrica da soma é a topologia produto? Demonstre.

Solução: Considere a aplicação $d : \Omega \times \Omega \rightarrow [0,\infty)$ dada por
$$d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} |x_n - y_n|,$$
onde $x = (x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e $y = (y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ são elementos de $\Omega$. De fato $d$ está bem definida, pois, para cada $n \in \mathbb{N}$$$|x_n - y_n| \leq |x_n| + |y_n| \leq \frac{2}{n^2},$$
o que implica, $d(x,y) \leq 2 < \infty.$ Também pode-se verificar rapidamente que $d$ é de fato uma métrica. Denote por $\tau_d$ a topologia induzida pela métrica $d$ e $\tau$ a topologia produto em $\Omega$. Vamos mostrar que $\tau = \tau_d$.

Lembre-se que a topologia $\tau$ tem como subbase a coleção
$$\mathcal{C} = \{\pi_{n}^{-1}(I_{n}) : n \in \mathbb{N}\text{ e } I_{n}\text{ é aberto em } [0,1/n^{2}]\},$$
onde
$$\pi_{n}^{-1}(I_{n}) = \prod_{k=1}^{n-1}[0,1/k^{2}] \times I_n \times \prod_{k=n+1}^{\infty}[0,1/k^{2}].$$

Comecemos provando que $\tau \subset \tau_d$. Para tanto, é suficiente provar que $\mathcal{C} \subset \tau_{d}$. Com efeito, seja $C \in \mathcal{C}$ e $a = (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in C$. Neste caso, existe $m \in \mathbb{N}$ e um aberto $I_m \subset [0,1/m^{2}]$ tal que

$$C = \prod_{n=1}^{m-1}[0,1/n^{2}] \times I_m \times \prod_{n=m+1}^{\infty}[0,1/n^{2}].$$
Ainda, existe $J_m \subset \mathbb{R}$ tal que $I_m = J_m \cap [0,1/m^2]$. Como $a_m \in J_m$, existe $r > 0$ tal que $(a_m - r, a_m + r) \subset J_m$. Logo
$$I_{r}(a_m) := (a_m -r,a_m +r)\cap[0,1/m^2] \subset I_m.$$
Assim

$$\prod_{n=1}^{m-1}[0,1/n^{2}] \times I_{r}(a_m) \times \prod_{n=m+1}^{\infty}[0,1/n^{2}] \subset \prod_{n=1}^{m-1}[0,1/n^{2}] \times I_m \times \prod_{n=m+1}^{\infty}[0,1/n^{2}] .$$

Por fim, note que a bola $B_{r}(a)$ está contida em $C$, pois
$$x \in B_{r}(a) \implies x \in \Omega\text{ e } \sum_{n=1}^{\infty} |x_n - a_n| < r \implies x_n \in [0,1/n^2]\text{ e } x_n \in (a_n - r, a_n + r), \forall n \in \mathbb{N},$$
em particular, $x \in \prod_{n=1}^{m-1}[0,1/n^{2}] \times I_{r}(a_m) \times \prod_{n=m+1}^{\infty}[0,1/n^{2}]$. Portanto, $C$ é um aberto de $(\Omega, \tau_{d})$, como queríamos.

Mostremos agora que $\tau_d \subset \tau$. Para tanto, é suficiente mostrar que a coleção
$$\mathcal{B} = \{B_{r}(a) : a \in \Omega, r > 0\}$$
está contida em $\tau$. Com efeito. Considere $a \in \Omega$, $r > 0$ e $B_{r}(a)$, bola centrada em $a$ de raio $r$. Dado $x \in \Omega,$ qualquer, sabemos que a série $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n - a_n|$ é convergente. Assim, dado $\epsilon = r/2$, existe $k_0 \in \mathbb{N}$ tal que
$$\sum_{n=k_0 + 1}^{\infty} < \epsilon.$$

Denotando $s = \frac{r}{2k_0}$ e $I_{s}(a_n) = (a_n-s, a_n + s) \cap [0,1/n^2]$, com $n = 1, ..., k_0$, vale a seguinte inclusão
$$B := I_{s}(a_1) \times ... \times I_{s}(a_{k_0}) \times \prod_{n= k_0}^{\infty} [0,1/n^2] \subset B_{r}(a).$$
De fato, dado $x \in B $, tem-se $|x_n - a_n| < \frac{r}{2k_0}$, para todo $n = 1, ..., k_0$. Além disso,
$$\sum_{n=1}^{\infty} |x_n - a_n| = \sum_{n=1}^{k_0} |x_n - a_n| + \sum_{n=k_{0} + 1}^{\infty} |x_n - a_n| < k_0\frac{r}{2k_0} + \epsilon = r.$$
Ou seja, $d(x,a) < r$, como queríamos. Como $B$ é um elemento básico da topologia produto $\tau$ que contém $a$, concluímos que $B_{r}(a)$ é um aberto do espaço topológico $(\Omega, \tau)$. Portanto $\tau_d = \tau.$