Sub-subsequência que converge
No chat da vídeo-aula sobre Sequências de Cauchy e Completude dos Espaços Métricos, o professor comentou que
" Dá para construir uma sequência que não converge, mas que toda subsequência tem uma sub-subsequência que converge. Ou seja, nenhuma subsequência fica completamente "longe" "
Como seria o processo de construir tais sub-subsequência ? Tem algo a ver com o Teorema de Bolzano-Weierstrass para sequencias laaa da Análise?
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Você pode tomar uma sequência limitada que não convirja. Por exemplo, tome $x_n=\sin(n)$. Essa sequência não converge pois alterna constantemente entre 1 e -1, não ficando assim acumulada em torno de um único ponto.
No entanto, por ser limitada, qualquer subsequência de $(x_{n_k})\subset (x_n)$ é também limitada e portanto por B.W., existe uma sub-subsequência $(x_{n_{k_j}}) \subset (x_{n_k})$ que converge. Obviamente, pelo menos duas dessas subsub's convergem para limites distintos, do contrário $x_n$ seria convergente.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu não expliquei direito. $f_n \not \rightarrow 0$. Mas toda subsequência de $f_n$ tem uma sub-subsequência que converge para $0$. (!!!)
Aqui explica. (ignore o primeiro parágrafo)
https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence#Almost_everywhere_convergence
- AEm resposta adaniel1.abreu⬆:André Caldas @andrecaldas
Ops... vou explicar melhor.
Estou falando de convergência em quase todo ponto. E quero argumentar que esse tipo de convergência não é dada por uma topologia. O que acontece, é que você consegue construir uma sequência $f_n$ que não converge pra $f$, mas que toda subsequência $g_k = f_{n_k}$ tem uma subsequência $g_{k_j}$ que converge pra $f$!!!
Ou seja, a convergência não pode ser dada por uma topologia. Se fosse dada por uma topologia, você conseguiria $g_k$ completamente longe de $f$. E não pode acontecer de $g_{k_j} \rightarrow f$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Aqui explica. (ignore o primeiro parágrafo)
https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise_convergence#Almost_everywhere_convergence- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Então quando o senhor falou "Dá pra construir uma sequência que... " seria melhor dizer "Existe uma sequência que...", nesse caso em que a convergência não pode ser dada por uma topologia. Seria isso ?
Para mim não é nada natural falar em algo que converge mas a convergência não pode ser dada por uma topologia. Se não é dada por uma topologia é dada pelo que?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. Não só existe, como dá pra construir. :-)
É isso mesmo. O conceito de convergência em quase todo ponto não é dado por uma topologia.
Para mim não é nada natural falar em algo que converge mas a convergência não pode ser dada por uma topologia. Se não é dada por uma topologia é dada pelo que?
É dada pelo conceito de convergência em quase todo ponto. :-)
É preciso estar em um espaço de medida. Nesse caso, $f_n \xrightarrow{\mathrm{qtp}} f$ quando existe um conjunto de medida nula $M \subset X$ tal que para todo $x \in M^c$,
$$f_n(x) \rightarrow f(x).$$
Essa última é a convergência, por exemplo, em $\mathbb{R}$, dada pela topologia usual de $\mathbb{R}$.